2024.5.6 近期练习

P3354 [IOI2005] Riv 河流

如果我们设 \(f_{u,j}\) 表示子树 \(u\) 内放了 \(j\) 个伐木场的答案，发现很难转移。
我们多加状态，设 \(f_{u,i,j}\) 表示子树 \(u\) 放了 \(j\) 个伐木场，木材全部运到 \(i\) 去最小代价。\(i\) 是 \(j\) 祖先。
继续设 \(g_{u,i,j}\) 表示 \(u\) 建了伐木场，子树 \(u\) 放了 \(j\) 个伐木场，木材运到 \(i\) 去最小代价。
这是个背包的模型，合并儿子的答案即可。
事实上，\(v\) 转移到 \(u\) 的时候是用不到 \(g\) 的，我们用 \(g\) 把 \(f\) 更新即可，

P3565/P5904 [POI2014] HOT-Hotels（加强版）

简单版的话，我们可以先枚举两个点 \(u,v\) 出来。得到这两个点路径的中点 \(mid\)。
设 \(u,v\) 到 \(mid\) 的距离为 \(d\)，那么我们要求的是到 \(mid\) 距离为 \(d\) 的点的个数（除去 \(u,v\)）。
事实上，我们只需要计算 \(mid\) 为根，求距离为 \(d\) 的点的个数算贡献即可。
困难版我们无法这么算。为了避免算重，钦定一个根。设 \(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 子树内距离 \(u\) 为 \(i\) 的点数，
\(g_{u,i}\) 表示 \(u\) 子树内还要一个距离 \(u\) 为 \(i\) 的点就可以形成三元组的二元组个数。转移显然。
计算答案有两种，一种是三个点都在 \(u\) 子树内的，一种是 \(2\) 的点在 \(u\) 子树内，一个在外。
然而这样还是 \(O(n^2)\)。因为状态数与深度有关，考虑长链剖分。
长剖的过程是这样的：每次直接继承重儿子的信息，合并轻儿子暴力。
由于每个点只会在重链顶端暴力合并，所以时间复杂度为 \(O(n)\)。
再用指针分配内存，做到空间复杂度 \(O(n)\)。

P10408 「SMOI-R1」Apple

其中一个 subtask 的做法是操作分块，每次询问直接暴力计算块内修改的贡献，每个块结束重构一遍。
回到正解，我们从 OR-FWT 的过程出发。
我们如果每次修改，都做一遍完整的 fwt，每一次就得 \(O(n2^n)\)，然而查询 \(O(1)\)，启示我们去平衡。
所以我们每次单点修改，都从分治树底向上做 \(n/2\) 层。
然后我们每次查询的时候，查询的是 \(x\)，那么 \(x+k2^{n/2}\) 的点才能做贡献，继续分治上去即可。
已经完成平衡，每次操作复杂度是 \(\frac{n}{2}\cdot 2^{\frac{n}{2}}\)。

P8456 「SWTR-8」地地铁铁

图上的路径考虑转成树。考虑圆方树。
若两个点在不同的点双中，我们只需要判断，路径上的方点是否两个颜色都有。
但是两个点在同一个点双中呢，可能这个点双中有两种颜色，但是没有经过两种颜色的路径。
比如说 \(u,v\) 在一个点双中，两条不相交路径，一条白，一条黑。
我们仔细的观察，一个点双中，若有两种颜色，一定有一个黑白环。
那么环外的两点路径，把环看成一个点，任意点到这个环都有两条路。一个点先来找环，再从环回去。
环外到环上同理。问题是环内的路径，若环是有一段黑和一段白拼起来，黑白交接的两个点间怎么走。
这两个点若环外还存在一个点黑白相接即可走。所以不合法的是黑白相接的点个数 \(=2\).
我们减去点双内不合法的，再统计不在一个点双内的，容斥，减去只能走一种颜色的路径，并查集。

P3647 [APIO2014] 连珠线

考虑整个过程是怎么样的。整个过程都是一棵树，每次都加入两条相连的蓝边，所有两条蓝边不交。
我们可以钦定第一个点然后去 dp，这样两条蓝边都是祖先链。
设 \(f_u\) 表示 \(u\) 点还差一条蓝边配对的方案数，\(g_u\) 表示 \(u\) 点没有欠配对的蓝边的方案数。
换根 dp 即可，维护最大值和次大值。

P3643 [APIO2016] 划艇

如果设 \(f_{i,j}\) 表示填到 \(i\)，\(i\) 填的是 \(j\) 的方案数，转移枚举上一个填了的地方。然而 \(a,b\) 太大了。
考虑离散化。设 \(f_{i,j}\) 表示填到 \(i\)，\(i\) 填的数落到第 \(j\) 个区间的方案数。
转移是麻烦的，因为 \(i\) 填到第 \(j\) 个区间里，\(i\) 前面的数也可以填到第 \(j\) 个区间里，我们如何计算呢。
我们设 \(j\) 区间由 \([p+1,i]\) 的数来填，枚举有 \(k\) 个数非零，设 \(m\) 表示 \([p+1,i]\) 里能填 \(j\) 区间个数，\(C_m^k\)。
这 \(k\) 个数递增，设区间 \(j\) 长度为 \(len\)，\(C_{len}^k\)，由于 \(i\) 必填，范德蒙德卷积 \(\sum_{k\ge 1}C_{m-1}^{k-1}C_{len}^k=C_{m+len-1}^m\).
所以所有的 \(k< j\)，\(f_{p,k}\) 对 \(f_{i,j}\) 的贡献是 \(C_{m+len-1}^m\)，前缀和优化一下。
组合数巨大，但是对于同一个 \(f_{i,j}\) 可以递推。

P9676 [ICPC2022 Jinan R] Skills

如果一个技能练习了，但又掉回 \(0\) 熟练度，那么不如不练习。
所以最佳方案中每个熟练度，是不会出现中途 \(\le 0\)，所以减贡献的时候不需要跟 \(0\) 取 \(\max\).
设 \(f_{i,j,k}\) 表示三个技能上次练习距今 \(i,j,k\) 天的最大价值，\(i,j,k\) 有一个 \(=0\)，转移 \(O(1)\)，状态 \(O(n^3)\)。
考虑优化状态，注意到减贡献是平方增长的，盲猜连续不练习根号天。
假设连续不练习了 \(x\) 天，消耗量是 \(\frac{1}{2}(x^2+x)\)，这 \(x\) 天里另外的技能增加量是 \(ax\)，虽然不亏但不优。
假设我们在第 \(y\) 天练习了，那么就会减少 \((x-y)y\) 的消耗量，但是减少了 \(a\) 的增加量。
当 \(x\ge 2\sqrt a\) 时，取 \(y=\sqrt a\)，这样一定更优，所以最多不练习 \(2\sqrt a\) 天。
复杂度是 \(O(na)\).

P8860 动态图连通性

这个题显然是要离线做的，我们设每条边被操作的时候是 \(t_i\).
我们最后一定会仅剩下一条 \(1\sim n\) 的路径。这条路径有什么性质呢？
考虑跟另外一条来比较，假设 \(1\sim n\) 的路径中有两个点 \(u,v\)，挂了一条路径 \(u\Rightarrow v\)。
\(1\to u\to v\to n\)（记为路径 \(1\)），优于 \(1\to u\Rightarrow v\to n\)（路径 \(2\)），只用考虑 \(u\) 到 \(v\) 的路径的差异。
如果路径 \(1\) 更优，那么肯定路径 \(2\) 中有一条边被提前删除了。
设路径 \(1\) 的边的 \(t\) 的集合为 \(S_1\)，路径 \(2\) 的边的 \(t\) 的集合为 \(S_2\)，那么 \(S_1\) 字典序大于 \(S_2\).
所以我们考虑用 dijkstra 算法求这条最优路径，两种路径的比较就二分哈希，集合的维护用主席树。

P7207 [COCI2019-2020#3] Sob

二进制考虑拆位，假设从高到低拆位，每次将 \(A,B\) 集合分成两份，一份为 \(0\)，一份为 \(1\)。
发现 \(|A_0|\ge |B_0|\)，那么我们必须得从 \(B_1\) 调一些到 \(B_0\)，但是不知道调哪些。
从低到高拆位，也就是奇偶性，发现 \(|A_0|\ge |B_0|\)，且 \(|A_0|-|B_0|\le 1\)。
因为此时 \(|B|\) 一定是奇数，所以把 \(B_1\) 中第一个调给 \(B_0\)，分为大小一半的子任务，这样做是合法。
因为两个大小相同的区间一定能匹配，把 \(B_1\) 第一个调给 \(B_0\)，去掉最后一位后还是连续区间。