2024.2.25 近期练习

P5892

有一个很明显的 $O(n^2\log n)$ 暴力，也就是枚举左右端点，然后区间查询前 $k$ 大。
主席树即可维护前 $k$ 大。
考虑优化，盲猜决策单调性，于是用分治法求出。

P4067

答案是 $\mathrm{全}\mathrm{部}\mathrm{和}-k\mathrm{以}\mathrm{内}\mathrm{的}\mathrm{和}-(\mathrm{全}\mathrm{部}\mathrm{个}\mathrm{数}-k\mathrm{以}\mathrm{内}\mathrm{数}\mathrm{目})\times k$。
数位 dp。
设 $f(p,li{m}_i,li{m}_j,li{m}_k)$ 即可，表示当前填到第 $p$ 位，是否有 $i/j/k$ 的最高位限制。
同时记录和，以及个数即可。

P7219

直方图。考虑建出笛卡尔树，那有什么用呢？
两个星星之间若可以共存，取决于其横轴坐标区间上的最高的船。
考虑笛卡尔树上树形 dp。设 $d{p}_{u,i}$ 表示点 $u$ 子树内最高的高度是 $i$。
转移的话分讨 $u$ 这列选不选。
线段树合并优化，支持全局加，单点取 $max$⁡，询问区间 $max$。

P5072

我们拆贡献，设元素 $x$ 出现了 $c$ 次，那么其贡献是 $2^n-2^{n-c}$。
考虑莫队，维护每个元素的出现次数。
由于出现次数一样的数是等价的，我们维护出现次数相同的数的和。
只需要用双向链表维护不同的出现次数即可，最多的是 $O(\sqrt{n})$ 的，哈希表也行。
还有一个问题，需要快速的计算 $2^{n}mod$ 任意模数，需要光速幂。

P5985

考虑把这个题放到 01trie 上去考虑，考虑在 01 trie 上面 dp。
我们在字典树上，往右走就是把 $f$ 整体加上 $1$。
由于 $n$ 很小，我们考虑把区间设为状态。设 $d{p}_{u,l,r}$ 表示 $[l,r]$ 都在字典树 $u$ 节点之内的最大值。
转移直接枚举切点，$d{p}_{u,l,r}=max(d{p}_{ls,l,k}+d{p}_{rs,k+1,r}+sum(k+1,r))$。
由于字典树只有 $\log m$ 种大小不同的子树，所以状态数是 $n^2\log m$ 级别。
复杂度 $O(n^3\log m)$，使用区间 dp 的决策单调性优化可以到 $O(n^2\log m)$ 级别。

P4495

首先与 $p$ 的 $gcd$ 相同的数其实是等价的。所以最多有 ${\sigma }_0(p)\le 2e3$ 个。
若我们同时选了一个 $x$ 的倍数和一个 $y$ 的倍数，那么所有 $gcd(x,y)$ 的倍数都可以被拼出。
设 $f_{i,d}$ 表示前 $i$ 个数，仅能拼出 $d$ 的倍数的方案数。
复杂度是 $O({\sigma }_0(p{)}^2)$。