2023.12.25 近期练习

CF1793F

有一个朴素的想法，使用不删除莫队，使用一种数据结构维护相邻元素的差，$O(n\sqrt{q}\log n)$。
可以通过链表加不增加莫队，维护最小值，使用值域分块，$O(n\sqrt{q}+q\sqrt{n})$。
即使如此，也因为常数过大无法通过。
考虑使用扫描线，从右往左扫描区间，将询问挂到左端点上。
大于小于是等价的，先处理大于的。
我们假设现在扫到 $a_i$，同步记录一个 $f_j$ 表示 $[i,j]$ 的答案。
先找到右边第一个大于 $a_i$ 的，设为 $a_j$，并将 $j$ 点更新为 $a_j-a_i$。
下一步，找下一个 $a_k\in [a_i,a_j)$，并继续地更新。
这里有一个优化，就是 $a_k$ 的范围可以调整为 $[a_i,\frac{a_i+a_j}{2}]$，因为在 $[\frac{a_i+a_j}{2},a_j]$ 的势必与 $a_j$ 更近。
每次范围都减半，保证了复杂度，为 $O(n{\log }^{2}n+q\log n)$。
具体地，开一棵值域线段树维护当前值最小的位置，再开一棵线段树维护区间 $f$ 的值。
这种问题是经典的区间询问问题，允许离线的话，应使用经典的扫描线模型。

CF1771F

出现次数为奇数，可以用异或来处理。
考虑建立主席树，可以查询一个区间的信息。
我们现在要求最小出现的数，考虑二分，只需要查询左边区间是否有数为奇数即可。
如果我们把每个数随机分配一个权值， 把所有数异或起来，如果有数出现奇数，那么一定有值。
二分可以放到线段树上二分。然后就做完了。
这类问题强制在线，只能用主席树，有关出现次数的应想到异或。

CF1788F

想到带权并查集，$u\to v$ 路径权值给定为 $w$ 的话那么 $s_u\otimes s_v=w$。
我们可以通过带权并查集维护出若干连通块，同时可以判断无解的情况。
我们现在要求的是 $a_i$ 异或的和，如何用 $s_u$ 表示出来呢？
设 $i=(u,v)$，那么 $a_i=s_u\otimes s_v$，所以只有奇度数点的 $s$ 是有贡献的。
那么如何填数值呢？拆位去填，设一个连通块中该位是 $0$ 的有 $c_0$ 个，$1$ 有 $c_1$ 个。
如果根填 $0$，那么值是 $c_1$。若填 $1$，那么值是 $c_0$。调整即可。
默认填 $0$，考虑把无论怎么填都是 $1$ 的用可以填出 $0,1$ 的去抵消。
这种问题是经典的带权并查集，之后二进制的处理应该用拆位，贪心即可。

CF1783F

先考虑只有一个数组 $a$，若选了 $a_x=i$，$a_i$ 与 $a_x$ 交换会发生什么？
很套路的，把 $a_i$ 向 $i$ 连边，代表 $a_i$ 应前往 $i$，那么会形成若干个环。
如果我们操作 $i$ 会发生什么？那么 $i$ 这个位置会形成自环，$i$ 的两端会连在一起。
所以我们不断的删点，一个环若大小是 $m$，那么只用删 $m-1$ 个。
所以一张图的答案是 $n-\mathrm{环}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}$。那么两张图呢？
两种图不用删的点要是都不用删就好了，所以我们要尽量让不用删的点重合。
一个环只能出一个。将环做点去二分图匹配即可。
这种问题有关置换，可以建出“置换环”，之后转化成为二分图匹配的模型。

CF1778E

要支持换根以及查询子树，我们可以先钦定一个根 $1$，设换根为 $rt$，现在求子树 $u$。
若 $rt=u$，为整棵树；否则，若 $rt$ 不在 $u$ 原先的子树，是 $u$；
否则，设 $rt$ 在 $u$ 的 $v$ 子树内，就是 $v$ 子树取反。
子树内的话用线性基合并，复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。
子树外怎么办呢？考虑把数拍成 dfs 序，如果预处理前后缀和，就可以 $O(n{\log }^{2}n)$。
这种问题异或应与线性基联系起来，还有子树外信息的处理有关 dfs 序。

CF1823F

一道很典型的题。
直接列出方程，设 $f_u$ 为 $u$ 被经过的期望次数。
那么 $f_u=[u=s]+\sum _{v\ne t}{\displaystyle \frac{f_v}{de{g}_v}}$，$f_t=1$。
那么就是 $n$ 元 $1$ 次方程，考虑高斯消元，换成树上高消即可。
具体是，将 $f_u$ 表达成 $f_u=A{f}_{fa}+B$ 的形式，从叶子节点向上推即可。
定 $t$ 为根，由于 $f_t$ 已知，再推回来即可。复杂度 $O(n)$。