2023.11.30 近期练习

CF1887C

首先容易想到区间加需转化为差分，字典序的比较呢就考虑二分哈希。
二分第一个不一样的位置，这个位置也一定是差分数组第一个不一样的。
把哈希如果放到线段树上，那么在线段树上二分即可。
我们依次处理修改的时候，顺便处理当前的最小的字典序。
我们这里如果采用主席树，那么会发现空间过大，无法通过。
事实上我们只需维护两个线段树即可，一个维护当前版本的值，一个维护字典序最小的版本。
但是如果出现了当前版本更小，我们如何把第二个线段树更新呢？
只需把操作存下来，更新的时候再把操作依次放上去即可。
这种问题就是哈希上线段树。

CF1886E

首先将 \(a\) 从大到小排序，根据贪心猜想：每个项目选的人一定是一段连续区间。
由于 \(m\) 很小，设状态 \(f_s\) 表示当前做了 \(s\) 集合的项目，从大到小用，最少用几个人，
考虑转移，如果从 \(t\) 转移到 \(s\)，当前做 \(i\) 项目，那么我们要求最大的 \(j\)，满足
\(a_j\times (n-f[t]-j+1) \ge b_i\)。
转移时 \(f_s=\min(f_s,n-j+1)\)。
直接求 \(j\) 是难求的，不妨枚举 \(i,j\)，求对于每个 \(j\) 能贡献的位置区间，直接解不等式即可。
然后做完了。
这种问题要多猜并找性质。

CF1876D

关于第二个要求，很容易看出对于每种值，红蓝必须间隔染色。
第三个要求呢，猜想到容斥，其次发现，红色与蓝色是等价的，
所以红色字典序大的方案和蓝色字典序的方案是相同的，我们只需总方案减去字典序相同的方案除 \(2\) 即可。
关于总方案数，如果值的个数是 \(m\)，那么就是 \(2^m\)，因为每种值只有两种方案。
关于求字典序相同的，就是每位都相同。
我们从第一位开始想，如果 \(a_1=b\)，被红色染了，那么第二个 \(a_j=b\) 一定需要是蓝色，
且 \(1\sim j-1\) 只能被红色染，发现 \(1\sim j-1\) 不能出现重复的值，这些值的染色方案都被确定了。
也就是说，如果我们把每种值，相邻奇数位和偶数位看成区间，所有区间必须不能有包含关系。
而且对于相交的区间，这些值的染法只有两种。
想到利用并查集，求出值的等价类个数 \(num\)，答案容斥即可。
这种问题要看出等价类，以及熟练并查集的应用。

CF1866K

对于一次询问 \(u\)，可以将答案分为不经过 \(u\) 的直径，和经过 \(u\) 的直径。
关于不经过 \(u\) 的直径，直接预处理好了。
经过 \(u\) 的直径的话，对于所有 \((u,v,w)\)，设 \(v\) 不经过 \(u\) 最长路是 \(d_v\)，
那么现在要求 \(k\times w_{u,v}+d_v\) 的最大值和次大值。
先处理 \(d_v\)，这个可以使用换根 dp，只需要记录经过 \(v\) 的最长路和次长路即可。
其次处理上面的式子，容易发现这是一个一次函数的形式，不难想到用李超线段树维护。
但是要求最大值，还要求次大值。
考虑把最大值的直线剔除，设编号为 \(x\)，我们不妨前后缀处理一下，求 \(pre_{x-1},suf_{x+1}\) 中的最大值。
是需要离线下来处理即可。
这种问题是李超线段树，和前后缀优化的应用。