2023.10.31 USACO 2020 选做

P6009 Non-Decreasing Subsequences P

由于值域很小，dp 的转移不难想到写成矩阵的形式。
考虑维护矩阵的前缀积和逆前缀积。
然而单次的矩阵乘已经达到 $O (k^{3})$ 超时了，但是我们发现其实矩阵非 $0$ 的位置是 $O (k)$ 个的，所以复杂度降到了 $O (k^{2})$ .
关于逆矩阵，我们无需高斯消元，找规律发现非零位置也是 $O (k)$ 个的。
如果前缀积 $p r e 1_{i} = p r e 1_{i - 1} \times A$ ，那么注意逆前缀积是 $p r e 2_{i} = A^{- 1} \times p r e 2_{i - 1}$ .
这是因为矩阵只满足结合律。

P6142 Delegation P

考虑二分答案 $K$ 。
由于一个点往上只能伸出一条链，如果我们贪心的话一定是伸出最长的链。
考虑把儿子身上来的所有链用 multiset 维护。
如果要把若干条链两两匹配，考虑每次拉出最短的链，我们需找到最小的但是满足长度 $\geq k$ 的链匹配。
在 multiset 上二分即可。最后剩下来那个就是向上伸的。

P6144 Help Yourself P

首先套路的使用斯特林数拆解 $k$ 次幂，我们只需要求出所有 $i \leq k$ 的 $C_{a n s}^{i}$ 的和就行了。
按照左端点排序。考虑使用线段树维护 $d p_{i}$ 数组表示当前最右边是 $i$ 的答案。
设当前区间是 $[l, r]$ ，对于右端点小于 $l$ 的，那么增加了一个连通块，用 $C_{a n s}^{i} = C_{a n s - 1}^{i - 1} + C_{a n s - 1}^{i}$ 更新。
对于右端点 $\in [l, r]$ 的，可以对 $r$ 做贡献，直接区间求和。
对于右端点大于 $r$ 的，此时贡献不能算在 $r$ 上，方案数都乘上 $2$ 即可。
简单的线段树操作。

P6275 Sprinklers 2: Return of the Alfalfa P

考虑两种种物一定被一条 $(0, 0)$ 到 $(n, m)$ 的分割线分成两边。
分割线的拐角一定被放置洒水器。
那么剩下的点都是放或不放，有 $2$ 种可能。
直接设 $d p_{i, j, 0 / 1}$ 表示分割线到 $(i, j)$ ，当前是向右/向下， $i$ 行上面的总的贡献。
简单的转移。