2023.9.13 AT Practise

ARC078F

使得 \(1\sim n\) 只有一条路径的话，
是这样的：\(1\sim n\) 的路径上挂了若干联通块：联通块内两两连边。
设 \(f_{S,u}\) 表示当前处理了点集 \(S\)，现在走到 \(u\)，
有两种转移，一种是在这个点上挂一个连通块，其次是把这个点连向下一个点。
\(f_{S,u}+G_T\to f_{S\cup T,u}\).
\(f_{S,u}+E_{u\to v}\to f_{S\cup v,v}\).

我们只需要求出 \(G_S\) 表示 \(S\) 点集内部所有边权即可。

ARC079F

容易发现一个点的权值就是其后继的 \(mex\)，对于树来说，可以直接求出。
那么怎么处理环呢？我们可以枚举环上一个点的 \(mex\) 值，转一圈后再回来检验。
但是这样枚举的太多了。其实一个点它的权值是不会超过 \(\log n\) 的。
可以简单证明。
那么就是 \(n\log n\).

ARC080F

首先如果有一个长为 \(x\) 的区间，我们如果要让其全部取反。
若 \(x\) 为奇质数，那么只需操作一次。
若 \(x\) 为偶数，要操作两次：一个不小于 \(6\) 的偶数一定可以分为两个奇质数的和。
但是其对于 \(4\) 和 \(2\) 也成立，因为 \(4=7-3,2=5-3\)，这样也可以。
若 \(x\) 为奇非质数，要操作 \(3\) 次，只需减去一个奇质数就变成偶数了。

考虑差分，我们要把这个差分数组全部变为 \(0\)。
令差分数组为 \(1\) 的数两两对应一下，对应 \(l,r\) 就是使长度 \(r-l\) 的区间全部取反。
考虑优先匹配长度为奇质数的区间，按偶数和奇数分成二分图，先全部匹配了。
剩下若干个为被匹配的位置，再把奇偶性相同的匹配了，最后再匹配奇非质数的。

ARC080E

考虑倒过来取。每次选的两个数组成的区间不可以相交。
那么在 \([l,r]\) 选择一个区间 \(x,y\) ，将其分成 \([l,x-1],[x+1,y-1],[y+1,r]\) 三个区间，
每个区间必须是偶数长度，所以 \(x\) 和 \(l\) 同奇偶，\(y\) 与 \(r\) 同奇偶。
建立两颗奇数和偶数的线段树即可。
一开始是在 \([1,n]\) 中去，线段树计算出其字典序最小的选择，并把这个区间拆开，加入堆即可。
每次堆取出字典序最小的区间。

ARC081E

考虑倒过来 dp，设 \(dp_i\) 表示 \(s\) 的 \(i\) 的后缀没有匹配的最小长度的 \(t\)。
考虑第 \(i\) 位，设 \(t\) 的前面加入了一个字符 \(c\).
那么我们要匹配 \(c\)，就要找到一个 \(s\) 中的 \(c\) 去匹配，
如果 \(s\) 后面没有 \(c\)，那 \(t\) 直接为 \(c\) 即可。
那么我们可以预处理出 \(nxt_{i,j}\) 表示 \(i\) 后面第一个字符 \(j\) 的位置。
转移的话就是枚举 \(c\)，然后 \(dp_i=dp_{nxt_{i,c}+1}+1\).

ARC081F

神仙题。
考虑一个 \(2\times 2\) 的矩阵如果满足其能转变为全 \(1\) 的矩阵，
那么一个大的矩阵里面有若干个 \(2\times 2\) 矩阵，若这些矩阵全部都可以变为全 \(1\)，
那么这个大矩阵就是可以变成全 \(1\) 的。
那么我们把 \(2\times 2\) 的一个个矩阵都构建一个新矩形代表其能不能变为全 \(1\)，
那么变成求最大子矩形。

ARC082E

注意到这个贡献是非常的特殊的。
可以把问题转变为：每个点选或不选，问能否组成凸包的方案数。
注意到不能组成凸包有且仅有这些点是共线的，减去即可。

ARC083E

首先有一个状态是这样的：\(f_{u,c,s}\) 表示 \(u\) 选了 \(c\) ，子树内非 \(c\) 的权值和为 \(s\)，能否凑出。
但是这样是 \(O(nX^2)\) 的。
由于每个状态的值是可行或不行，那么考虑把一维的值放到这个状态的答案去。
那么变成 \(f_{u,c}\) 表示 \(u\) 选了 \(c\)，\(s\) 的最小值。
转移是迎刃而解。