2023.8.25 LGJ Round

A

Alice 和 Bob 玩一个游戏，Alice 先手。
有一个长度为偶数的字符串，每次取出该字符串最前或最后的字符并删掉，并把该字符加入自己的字符串末尾。
双方都采取最优策略，问谁的字符串字典序更小，或相同。

区间 dp.
$d{p}_{i,j}$ 表示 $[i,j]$ 这个区间先手必胜/必败/平局。
初始 $d{p}_{i,i+1}=[s_i=s_{i+1}]$.
枚举先手取哪个，后手取哪个即可。
转移 $d{p}_{i,j}\leftarrow d{p}_{i,j-2}$.
$d{p}_{i,j}\leftarrow d{p}_{i+1,j-1}$.
$d{p}_{i,j}\leftarrow d{p}_{i+2,j}$.

最后 $d{p}_{1,n}$.

B

一张地图上 $(n,m\le {10}^4)$，经过一条无向边需要花费一些时间。
有两个内鬼，给定初始位置，内鬼需要抓到所有共 $k(k\le 8)$ 个目标。
有若干情报，每条情报揭露了 $p,x,t$，代表第 $p$ 个目标在 $t$ 时刻出现在 $x$.
若内鬼在 $t$ 时刻恰好在 $x$，那么就可以抓捕目标，这也是仅有的抓捕方式。
求抓到所有目标的最小时间。

首先枚举两个内鬼分别抓哪些人。
分层图，设 $f_{u,S}$ 表示当前在 $u$，抓捕了 $S$ 集合的所有人，需要多少时间。
转移即可。

C

有一个序列，$a_i\le m$，$n,m\le {10}^5$.
对于 $i=1\sim m$，问最短的区间，使得 $[1,i]$ 都出现了。

处理类似 $\text{mex}$ 的一类题目，套路是从小到大顺序加入 $1\sim m$.
我们加入的时候，顺便处理一个数组 $f_{i,L}$ 表示：
当前加到 $i$，左端点为 $L$ 的区间满足出现 $[1,i]$ 的最小右端点。

对于加入的 $i$，设其出现位置是 $p_1,p_2...p_k$.
对于在 $[p_j+1,p_{j+1}]$ 这里的所有 $L$，$f_{i,L}\leftarrow max(f_{i-1,L},p_{j+1})$
我们还发现 $f_{i-1,L}$ 是单调的，我们只需二分出 $f_{i-1,j}\le p_{j+1}$ 的区间将其全部赋值成 $p_{j+1}$ 即可。
对于 $i$ 的答案就是求最小的 $f_{i,L}-L+1$.
用线段树，实现区间查询第一个大于某数的位置（线段树上二分），区间赋值，区间求 $min$.

D

要求支持区间向区间建边，边权是 $a\times 2^b$ 类型。求最短路。
强行拼题。
关于 $a\times 2^b$，是 CF464E The Classic Problem
大概是线段树维护高精加，再把线段树可持久化一下。
关于两棵线段树大小，线段树上二分 Hash 值找出第一位不一样的即可。

区间向区间建边，正常做法是线段树优化建图，（然而这题好像不是）。