哈希

哈希

选取一个指质数为底数base（通常取131,13331，1e9+7,1e9+9），一个模数（通常取 unsigned long long 中自然溢出中的\(2^{64}\)）。
一个字符串\(d\)长度为\(n\)，哈希值为\(h_n=\sum s_i \times base^i\)。
它的子串\(s-t\)的哈希值为\(h_r-h_l\times base^{r-l+1}\)。
所以我们先预处理出\(base\)的次方值，方便用\(O(1)\)时间计算子串哈希值。
为了防止哈希值重叠，我们可以使用两个哈希值作为比较参考，即改变底数\(base\)。
一种推导哈希式子的办法：把底数看成10手算。

模板：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int MAXN=1e6+1;
char s1[MAXN],s2[MAXN];
int lena,lenb,ans=0;
ull b=13331,p[MAXN],h[MAXN],hb;
int main() {
	scanf("%s%s",s1+1,s2+1); p[0]=1;
	lena=strlen(s1+1); lenb=strlen(s2+1);
	for(int i=1; i<=1e6; i++) p[i]=p[i-1]*b;
	for(int i=1; i<=lena; i++) {
		h[i]=h[i-1]*b+ull(s1[i]-'A'+1);
	}
	for(int i=1; i<=lenb; i++) {
		hb=hb*b+ull(s2[i]-'A'+1);
	}
	for(int i=0; i<=lena-lenb; i++) {
		if(hb==h[i+lenb]-h[i]*p[lenb]) ans++;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

练习1：POI 2012 A Horrible Poem

题意：求子串最短循环节的长度
先用线性筛质数求出每个数的最小质因数\(g_i\)。
然后对于子串 \(s-t\) 它的最小循环节是它的一个因数。
有结论：对于长度\(l\)如果不是循环节，那么\(l\)的因数也不是循环节。
再把 \(l\) 及 \(\dfrac{l}{g_l}\) 及\(\dfrac{\dfrac{l}{g_l}}{g_\frac{l}{g_l}}\)......处理出来。
然后就对于长度\(l\)，如果\(\dfrac{l}{g_l}\)不是循环节，那么l不变，准备除以下一个质因数，否则将\(l\)赋值为\(\dfrac{l}{g_l}\)，储存答案。
这样直到\(l=1\)就可以得到答案。
对于\(l\)是否是循环节，只需判断\(s\) ~ \(t-l\)与 \(s+l\) ~ \(t\)是否相等，用字符串哈希可以解决。

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int MAXN=1e6+1;
ull h[MAXN],p[MAXN],b=131;
char s[MAXN];
int n,pri[MAXN],g[MAXN],tot,m;
int f[MAXN];
void Euler() {
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		if(!g[i]) {
			pri[++tot]=i;
			g[i]=i;
		}
		for(int j=1; j<=tot; j++) {
			if(pri[j]>g[i]||pri[j]>n/i) break;
			g[pri[j]*i]=pri[j];
		}
	}
}
ull hsh(int l,int r) {return h[r]-h[l-1]*p[r-l+1];}
int main() {
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	Euler();
	p[0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++) p[i]=p[i-1]*b;
	for(int i=1; i<=n; i++) h[i]=h[i-1]*b+s[i];
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1,l,r,len,res; i<=m; i++) {
		scanf("%d%d",&l,&r);
		len=r-l+1; res=0;
		while(len>1) {
			f[++res]=g[len];
			len=len/g[len];
		}
		len=r-l+1;
		for(int i=1,t; i<=res; i++) {
			t=len/f[i];
			if(hsh(l,r-t)==hsh(l+t,r))
				len=t;
		}
		printf("%d\n",len);
	}
	return 0;
}

练习2：POI 2010 Antisymmetry

题意要点：求最长回文子串。
正着哈希还有反着哈希，可以判断是否是回文子串。
枚举中心点，然后二分答案。
注意回文串长度是奇数还是偶数（此题没有）。
时间复杂度是\(O(n \log n)\)。

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
const int MAXN=5e5;
ull base=7,p[MAXN+10],h1[MAXN+10],h2[MAXN+10];
char s[MAXN+10];
int n,a[MAXN+10];
long long ans;
ull hsh1(int l,int r) {return h1[r]-h1[l-1]*p[r-l+1];}
ull hsh2(int l,int r) {return h2[l]-h2[r+1]*p[r-l+1];}
bool valid1(int x,int w) {return hsh1(x-w,x)==hsh2(x,x+w);}
bool valid2(int x,int w) {return hsh1(x-w,x)==hsh2(x+1,x+w+1);}
ll solve(int x) {
	if(hsh1(x,x)!=hsh2(x+1,x+1)||x+1>n) return 0;
	ll l=0,r=min(x,n-x);
	while(l+1<r) {
		int mid=(l+r)/2;
		if(valid2(x,mid)) l=mid;
		else r=mid;
	}
	return l+1;
}
int main() {
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	for(int i=1; i<=n; i++) a[i]=s[i]-'0';
	p[0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++) p[i]=p[i-1]*base;
	for(int i=1; i<=n; i++) h1[i]=h1[i-1]*base+a[i];
	for(int i=n; i>=1; i--) h2[i]=h2[i+1]*base+(1-a[i]);
	for(int i=1; i<=n; i++) 
		ans=ans+solve(i);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

哈希表

设计哈希函数，一个数据求出它的哈希值，把它插入到对应哈希值的链表内。
可以查询对应哈希值的链表内是否有需要查询的值。

收集雪花

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MOD=1e7-3,MAXN=2e6,base=13331;
int tot,nxt[MAXN+10],head[MOD+10],val[MAXN+10];
int n,ans,a[MAXN+10];
void Insert(int x) {
	int b=x%MOD;
	val[++tot]=x;
	nxt[tot]=head[b];
	head[b]=tot;
}
bool Query(int x) {
	int b=x%MOD;
	for(int i=head[b]; i; i=nxt[i]) {
		if(val[i]==x) return true;
	}
	return false;
}
void Del(int x) {
	int b=x%MOD,prev;
	if(val[head[b]]==x) head[b]=nxt[head[b]];
	for(int i=head[b]; i; i=nxt[i]) {
		if(val[i]==x) {
			nxt[prev]=nxt[i];
			break;
		}
		prev=i;
	}
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1,j=1; i<=n&&j<=n+1; ) {
		if(Query(a[j])||j==n+1) {
			ans=max(ans,j-i);
			while((Query(a[j])||j==n+1)&&i<=n) {
				Del(a[i]);
				i++;
			}
		}
		Insert(a[j]); j++;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}