匈牙利算法与KM算法

1. 匈牙利算法的概述

   用来解决二分图中的最优分配问题的算法，也就是图论中寻找最大匹配的算法。

2. 从实际问题的角度理解（\(\mbox{KM}\)算法）

   1. 第（1）步：找到每个成员的长处，即寻找各个成员完成各任务的最短耗时。将成本矩阵的各行减去该行的最小值，找出各行的“0”；

   2. 第（2）步：找到各任务的最佳人选，即寻找各任务分配给各成员完成的最短耗时。将（1）中处理后的成本矩阵的各列减去该列的最小值，找出各列的“0”；

   3. 第（3）步：成员和任务的礼让原则。相对不能“将就”的成员和任务优先选择。

      1. 成员礼让原则。寻找长处最少的成员，先把他的长处分配给他，因为长处越多的成员越容易调配。在（2）中处理后的成本矩阵中找到含有“0”最少的行，然后将该行的“0”画上圈（记为\(\circledcirc\)），同时由于一个任务同一时刻只能由一个成员完成，故划去其所在列的其他“0”（记为\(\phi\)）；
      2. 任务礼让原则。寻找最佳成员最少的任务，先把它的最佳成员分配给它，原因同（3）。在（3）中处理后的成本矩阵中找到含有“0”最少的列，然后将该列的“0”画上圈（记为\(\circledcirc\)），同时由于一个成员同一时刻只能完成一个任务，故划去其所在行的其他“0”（记为\(\phi\)）；

   4. 第（4）步：寻找牺牲的成员和任务。方法为打钩划线法。

      1. 打钩。对（3）中处理后的成本矩阵中不含“\(\circledcirc\)”的行打钩（寻找牺牲成员\(M_1\)），然后对该行中含有“\(\phi\)”的列打钩（寻找该成员与其他成员相冲突的任务\(T_1\)），再对该打钩列中含有“\(\circledcirc\)”的行打钩（寻找完成该冲突任务\(T_1\)的其他成员\(M_2\)）。若\(M_2\)中还有与其他成员冲突的任务，则重复上述步骤，反之则结束打钩过程；
      2. 划线。寻找有任务冲突的所有成员，然后提取出他们无冲突的任务，为之后的重新分配）做准备。对未打钩的行（无任务冲突的成员）和已打钩的列（冲突任务）划线排除。

   5. 第（5）步：重新调度分配。找到所有有任务冲突的成员，标记出他们的无冲突任务，最后选择耗时最少的任务作为“激励”/“惩罚”因子。在（4）中处理后的成本矩阵中寻找未被划线元素的最小值，然后对打钩行减去这个最小值、对打钩列增加这个最小值。

      1. 对打钩行减去这个最小值：在增加“0”的同时也能对冲突成员的无冲突任务进行“激励”。如果这次分配失败，则下一次分配时这些任务会更先被分配；
      2. 对打钩列增加这个最小值：在保证任务耗时非负的同时也能对有冲突任务进行“惩罚”。如果这次分配失败，则下一次分配时这些任务会更后被分配；

   6. 第（6）步：如果出现各行各列都只有一个“\(\circledcirc\)”则说明分配成功，否则分配失败，重复（4）~（6）。

3. 从图论理论的角度理解（匈牙利算法）

   1. 专有名词解释

      1. 匹配\(\mbox{M}\)：是边集\(\mbox{E}\)的一个无环子集，且它的任意两条边在图\(\mbox{G}\)中都不相邻；
      2. \(\mbox{M}\)的饱和顶点\(\nu\)：\(\exists{e}\in{M}\)与顶点\(\nu\)关联；
      3. \(\mbox{M}\)的非饱和顶点\(\nu\)：\(\forall{e}\in{M}\)不与顶点\(\nu\)关联；
      4. 最大匹配\(\mbox{M}\)：所有匹配中边数最多的匹配方案；
      5. 完美匹配\(\mbox{M}\)：某个匹配包含了图\(\mbox{G}\)中所有的顶点；

   2. 交错路径

      \(M\)是图\(G\)某匹配，若某路径在\(M\)和\(G-M\)中交替出现，则将这条路径称为\(M\)交错路径。

   3. 增广路径

      如果一条\(M\)交错路径的起点和终点都是\(M\)非饱和顶点，则称为\(M\)增广路径。

   4. 算法步骤

      

   5. 我的理解

      1. 算法的目标

         任取一个\(M(X)\)非饱和顶点\(x_0\)作为“入射源点”，经过或者不经过\(M\)匹配中的“反射”，最后需要找到一个\(M(Y)\)非饱和顶点\(y_0\)作为“出射终点”，这样一条“反射光线”被称为“\(M\)增广路径”。

      2. 算法的遍历思想

         有点儿类似于层序遍历的思想。将\(N(S)\)作为访问备选方案，将其中已经访问过的\(Y\)做上标记（用集合\(T\)表示），以便后续不再重复访问（\(y\in{N(S)-T}\)）。

         在访问\(Y\)中结点之前必须对\(N(S)\)做判断，查看是否全被访问过（即\(N(S)\subseteq{T}\)），而对于每一个被访问的\(Y\)结点都会判断其是否属于\(M(Y)\)饱和顶点：

         1. 如果属于\(M(Y)\)饱和顶点：将与之\(M\)匹配的\(X_i\)并入\(S\)，并将\(y\)并入访问标记\(T\)中；
         2. 如果不属于\(M(Y)\)饱和顶点：必然存在一条增广路径\(P(x_0,y_0)\)，\(M=M\oplus{E(P)}\)；

      3. 如何获取增广路径

         可以用\(\mbox{DFS}\)（深度优先搜索）算法。

4. 赋权二部图最大匹配\(\mbox{Kuhn-Munkres}\)算法

   1. 顶点标号与可行顶点标号

      图\(G\)的顶点标号\(l\)是从顶点集到正整数集的一个映射。用\(l(\nu)\)为\(G\)上顶点\(\nu\)的标号，边\(<\nu_1,\nu_2>\)的权重用\(\omega(\nu_1\nu_2)\)表示。如果对于赋权二部图\(G\)中的每一条边\(<x,y>\)都有\(l(x)+l(y)\ge\omega(xy)\)，则称这个标号\(l\)是图\(G\)的一个可行顶点标记。

      其意义在于权重\(\omega(xy)\)是固定的，只有顶点的标号是随意初始化的。

      每次访问\(y\)都需要对其施加“惩罚”（\(+\)）\(\alpha_l\)，而对与之匹配的\(x\)施加“激励”（\(-\)）\(\alpha_l\)。

      通常选择\(l(x_i)=\underset{y\in{Y}}{\max}{(\omega(xy))}\)，\(l(y_i)=0\)，然后通过不断地调整\(l(x)\)和\(l(y)\)使得\(l(x)+l(y)\rightarrow\omega(xy)\)。

   2. 相等子图的概念以及推论

      1. 相等子图

         令\(E_l=\{xy\in{E(G)|l(x)+l(y)=\omega(xy)}\}\)（也就是匹配），则\(G(E_l)\)为\(G\)的\(l\)相等子图\(G_l\)。

      2. 定理推论

         相等子图\(G_l\)的完美匹配，亦是\(G\)的最大权完美匹配。

   3. \(\mbox{KM}\)算法优化方法及步骤

      1. 如果\(\norm{X}\neq\norm{Y}\)，则给\(G(X,Y)\)添加一些顶点和权为0的边，使其成为赋权二部图。

      2. 从\(G\)中任意一可行顶点标号开始，求出相等子图\(G_l\)（初始化一个匹配\(M\)）。

      3. 在\(G_l\)中执行匈牙利算法，观察是否能够输出一个完美匹配\(M\)：

         1. 如果可以求得完美匹配\(M\)，则将其输出并停止；

         2. 否则重新对顶点标号赋值：所有访问过的\(y\)都需要对其施加“惩罚”（\(+\)）\(\alpha_l\)，而与它们匹配的\(x\)施加“激励”（\(-\)）\(\alpha_l\)，其余的顶点标号不变。

            \[\alpha_l\overset{\Delta}{=}\underset{x\in{S},y\notin{T}}{\min}{\{l(x)+l(y)-\omega(xy)\}}，其中S=\mbox{visited}_x，T=\mbox{visited}_y \]

            也就是说使得\(\mbox{visited}_{x}\)有更多的\(y\)与之匹配，而限制\(\mbox{visited}_y\)的匹配数量。