数列极限的计算方法

<body>

  1. 已知递推式\(a_{n+1}=f(a_n)\)求解数列极限

    1. 在草稿纸上先斩后奏：假设极限存在，然后尝试解出极限值为\(A\)；

    2. 画出\(f(x)\)和\(x\)的大致图像(初等函数都得会画)，找到交点的大致范围\((C_1，C_2)\)；

      在理论上初等函数的图像是都可以通过研究导数性质绘制出来的，但是如果函数较为复杂的时候，这种方法的性价比就很低了，特别是面对有除式时。比较经典的引导如：

      \[\begin{aligned} 指数函数引导中值定理：f(x)-1，如e^x-1=e^x-e^0=e^\xi\cdot(x-0)； \\ 对数函数引导终止定理：f(x)-0，如\ln x-0=\ln x-\ln1=\frac{1}{\xi}\cdot(x-1)；\\\\ 对数中通分：\ln(\frac{f(x)}{\alpha(x)}\pm \frac{g(x)}{\beta(x)})=\ln(\frac{f(x)\beta(x)\pm g(x)\alpha(x)}{\alpha(x)\beta(x)})=\ln{分子}-\ln{分母}； \end{aligned} \]

      当然如果题目中突然给出我们一个点\(x_0\)的函数值为\(f(x_0)\)，然后表达式中有\(x-x_0\)的时候，这个时候不用中值定理未免也太辜负命题老师的良苦用心了。

      所以我们面对有除式的复杂函数时，首先想想中值定理，它能够将除式消除，构造出一个等式：\(g(a_{n+1})=h(\xi_n)\)，然后通过\(\xi_n\)的范围确定数列的界和单调性。最特殊的情况就是\(g=h\)且单调，这个时候\(a_{n+1}=\xi_n\)。然后我们就能够依据单调有界准则判断极限存在，再代入计算即可。

    3. 用零点定理证明：在区域\((C_1，C_2)\)内\(F(x)=f(x)-x=0\)有唯一实根\(x=A\)；

    4. 用数学归纳法证明：\(x_n\in(C_1，C_2)\)，这样数列\(\{x_n\}\)就有界了；

    5. 方程\(x=f(x)\)有解析解(可以得出实数\(A\)确切的值)

      1. 求迭代函数\(f(x)\)的单调性

        1. 如果单调增，说明数列\(\{x_n\}\)是单调数列，增或减看前两项关系；
        2. 如果单调减，说明数列\(\{x_n\}\)没有单调性，转(6)改用定义法证明；

        关于构造迭代函数与数列极限的关系的补充说明：

        1. 关于迭代函数的性质与解情况的讨论；
        2. 关于迭代函数单调性与数列单调性的关系的问题；

      2. 这时\(\{x_n\}\)单调有界，则极限必存在，将草稿纸上的步骤搬下来；

    6. 方程\(x=f(x)\)无解析解(以我们现有能力解不出)

      1. 用拉式中值定理：\(|x_{n+1}-A|=|f(x_n)-f(A)|=|f^{(1)}(\xi_n)|\cdot|x_n-A|\)；

      2. 证明\(\forall \xi\in(C_1，C_2)，|f^{(1)}(\xi)|\le k\lt1\)；

      3. \(0\le|x_{n+1}-A|=\prod_{i=1}^{n}|f^{(1)}(\xi_i)|\cdot|x_1-A|\le k^n|x_1-A|\)；

      4. 用夹逼定理得：\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}|x_{n+1}-A|=0\)，所以\(\{x_n\}\)的极限就是\(F(x)=0\)的根；


  1. 已知递推式\(a_{n+1}=f(a_n)\)求解数列函数\(\Gamma\large(\normalsize{\{\gamma_i;\}_n}\large)=\Gamma_n\)的极限

    1. \(g、h、\gamma\)映射代表着什么？

      在\(\Gamma\)中每一项元素是\(g(a_i)\)，需要用递推式的恒等变形推出：\(g(a_n)=\gamma\large(\normalsize{h(a_n)，h(a_{n+1})}\large)=\gamma_n\)。

      \(\gamma\)表示了一个能将aₙ和aₙ₊₁分开，让其独立平等且拥有相同的h映射的映射。最经典的莫过于裂项相消和累乘法，前者是构造的减法，而后者则是构造出除法。

    2. \(\Gamma\)映射代表着什么？

      而\(\Gamma\)则代表将所有的\(\gamma\)用一种映射关联起来，这种映射作用于前一项\(\gamma_{n-1}\)的后一项\(h(a_n)\)上(带有\(\gamma\)映射的运算符)，所以一般是与\(\gamma\)相反的映射。比如当\(\Gamma\)映射是“加法”时，\(\gamma\)映射就是“减法”；当\(\Gamma\)映射是“乘法”时，\(\gamma\)映射就是“除法”；当\(\Gamma\)映射是“指数”时，\(\gamma\)映射就是“对数”；……；

    3. 等式恒等变形？

      太复杂了我真不知道怎么说，只能靠\(\Gamma\)来推测出\(\gamma\)，而且只能靠经验试验出\(h\)。

    4. 如果推不出\(\gamma\)映射咋办？

      上面只是假设推得出，真要是推不出那就说明中间项是抵消不掉的，形式上就和无穷多无穷小量相加一致了，这时我们可以用递推式推出通项，然后用夹逼准则。但是我很少在考研中遇到这种有递推式但是不用恒等变形，反而考察高中数学通递转换的题😅。


  1. 已知递推式\(a_{n+1}=F(a_n)=\int{f(x，a_n)dx}\)求解数列极限

    其实这种题只是(1)的一种特殊形式罢了，单纯地想要致敬张宇老师。我们完全可以画出\(F(a_n)\)的图像，只不过这个图像并不是一个初等函数，而是一个分段函数，但是我们同样可以通过初始值确定出极限处于哪一段上面，并且确定每一段的解\(A\)和变量\(x\)的范围，然后用数归去证明它，再研究那一分段的单调性，之后要么用单调有界，要么用定义法，求出极限的值。


  1. 已知\(a_{n+1}=f(\{a_i;\}_n)\)求解数列极限

    1. 向前移步再相减得出递推式：\(a_{n+1}=a_n+g(a_n)\)；

    2. 然后研究函数\(f(x)=x+g(x)\)的性质，并转到(1)求解；


  1. 已知通项式\(a_n=A(n)\)

    1. 如果是求\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}a_n=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}A(n)=A\)

      1. 若通项简单

        1. 画出函数图像，观察能否判断出极限的值\(A\)；

          1. 如果判断不出则尝试化为递推式；
          2. 如果判断得出则继续向下进行；

        2. 用放缩法证明：\(|x_{n+1}-A|\le k^n\cdot|x_1-A|\)，其中\(0\le k\le C\lt1\)；

        3. 用夹逼定理得：\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}|x_{n+1}-A|=0\)，所以\(\{x_n\}\)的极限就是\(A\)；

        【注】这种类型的题一般是不会出的，因为很简单没有技术含量。但是如果出，那很有可能就出在如何化为递推式上，这一点是逆向思维不容易想到，除非有很强的等式恒等变形的素养。

      2. 若通项复杂

        可以选择使用海涅定理(归结原则)：如果\(\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)=A\)，那么对于任意以\(x_0\)为极限的数列\(x_n\)都满足如下等式\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}f(x_n)=A\)。所以我们会先将\(n\)连续化为\(x\)，然后求函数极限。

    2. 如果是求和\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}G\Large{(}\normalsize{\sum{g(a_i)}}\Large{)}\)

      夹逼准则。

      1. 无穷项相加

        \[n\cdot \min(\{g(a_n)\})\le \sum_{i=1}^{n}g(a_i)\le n\cdot\max(\{g(a_n)\})； \]

      2. 有限项相加

        \[1\cdot \max(\{g(a_n)\})\le \sum_{i=1}^{n}g(a_i)\le n\cdot\max(\{g(a_n)\})； \]

    3. 方程列综合

      1. 已知区间\((C_1，C_2)\)，用介值或零点定理得出满足\(f_n(x_n)=C\)的\(\{x_n\}\)；

      2. 利用方程尝试解出\(x_n\)，然后求其极限；

        1. 如果可以求出，则往下使用单调有界；
        2. 如果不能求出，则使用夹逼定理；

      3. 这时的数列\(\{x_n\}\)已经满足了有界性，所以此时我们可以研究单调性；

        1. 如果单调性容易求出，即\(x_{n+1}-x_n\)容易得到表达式且可以判断出正负性，则可以继续使用单调有界收敛准则，然后将(2)中极限求解步骤照抄；
        2. 如果不能得出单调性，则使用夹逼定理；

      【注】这种问题其实有个明显的特点：\(\{x_n\}\)天然有界。而且选择什么样的方法解决题目中都有暗示，如果命题老师想要我们用夹逼定理，则一般会多出来一问：构造出另一边的数列\(\{u_n\}\)，让我们求出俩数列的大小关系以及数列uₙ的极限值。而求\(\{u_n\}\)和\(\{x_n\}\)的大小关系，一般会先求出\(f_n(u_n)\)的值并与\(f_n(x_n)=C\)比较大小，然后再利用\(f_n(x)\)的单调性证明俩数列的大小关系。

    4. 区间列综合

      区间列就是\(x=h(x)\)在\((\gamma_1(n)，\gamma_2(n))\)区间中的解组成的一个数列\(\{x_n\}\)。所以如果想要等式有无穷多个解，有两种方法：一是在无穷远处有无穷多解，二是在某个区间里有无穷多解。

      1. \(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=\infty\)（无穷远处有无穷多解）

        极限存在，但不是完全存在，如\(x=\tan x\)。主要研究\(\infty-\infty\)型和\(\frac{\infty}{\infty}\)型，也就是研究在\(n\)充分大的时候，这个数列是否会趋向等差数列或者是等比数列。

      2. \(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n震荡不存在\)（某个区间里有无穷多解）

        极限不存在，但是肯定是有界的，如\(x=\sin \frac{1}{x}\)。不知道现在考研数学考不考察，极限计算中的有界震荡函数一般是乘上无穷小然后忽略掉。

      区间列综合问题一般需要掌握\(h(x)\)的恒等变形公式，以便于化简计算。

</body>
posted @ 2021-06-01 15:15  BNTU  阅读(2357)  评论(0)  编辑  收藏  举报