ATCoder 1600-2400 乱做

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• ABC234E [dif:1637]
• ABC234F [dif:2125]
• ABC234G [dif:2032]
• ABC238F [dif:2058]
• ABC237F [dif:1857]
• ABC237G [dif:2088]
• ARC134D [dif:1998]
• ABC235F [dif:2129]
• ABC234G [dif:2306]
• ARC136E [dif:3100]

ABC234E [dif:1637]

给你一个 $n$ 个点 $m$ 条边的图，设 $dis_{u,v}$ 表示 $u,v$ 之间的最短路，问最多删几条边 $dis_{u,v}$ 仍然不变。$n \le 300, m \le \frac{n(n-1)}{2}$。

跑 $\text{Floyd}$ 然后枚举每条边，对于每条边 $(u,v)$ 枚举每个点 $x$ 判断是否有满足 $dis_{u,x} + dis_{x,v} \le w(u,v)$ ，如果有的话这边就可以拜拜了。

注意 $\text{Floyd}$ 初始化时不要把 $dis_{0,0}$ 赋为 $0$。这样的话如果满足上面这个判断条件，说明存在一条经过两条边或更多边的路径的长度和比这条边短。

如果一条最短路的话边肯定越多越好，考虑一下两条边 $(u,x)$ 和 $(x,v)$ 的和如果和 $(u,v)$ 等长，那么 $w(u,x)$ 和 $w(x,v)$ 一定比 $w(u,v)$ 小，那样删掉 $w(u,v)$ 一定比删剩下两条中的一条优。

时间复杂度 $\mathcal O(n^3 + mn)$。

ABC234F [dif:2125]

$n$ 个数，第 $i$ 个数的权值为 $w_i$，一个数被选中的概率为 $\frac{w_i}{\sum_j w_j}$。

求选择 $K$ 次，恰好有 $M$ 个不同的数的概率。对 $998244353$ 取模。

设 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 个数选了 $j$ 次有 $k$ 个不同的数的概率。考虑枚举第 $i$ 个数选了几次进行转移。

有

$$f_{i,j,k} = \sum_{x} f_{i-1,j-x,k-[x>0]} \times \binom{j}{x} \times c_i^x$$

然后就做完了。。。

时间复杂度 $\mathcal O(nmK^2)$。

ABC234G [dif:2032]

$T$ 组询问，每次询问给定一个序列，初始只有一个数 $x$，每次向序列末尾加一个数 $y$ ，设当前末尾的数为 $z$，则 $1 \le y \le \sqrt z$ ，一共要加 $10^{100}$ 次，求可能产生多少种不同的序列。

$T \le 20, x \le 9 \times 10^{18}$。

考虑预处理出 $1 \sim \sqrt[4]{x}$ 的答案，然后做一个前缀和，然后去枚举 $i, 1 \le i \le \sqrt[4]{x}$ （这一步是在确定第三个数可以填啥），然后对于每个 $i$ 对应第二位可以填的数是 $[i^2, (i+1)^2)$ ，可直接算出有多少个数，直接暴力枚举一下即可。

时间复杂度 $\mathcal O(T \sqrt[4]{X})$。

ABC238F [dif:2058]

有 $n$ 个人，每个人有两个权值 $p_i, q_i$，保证序列 $p,q$ 是一个 $1 \sim n$ 的排列。

现在让你选 $K$ 个人，问方案数，对 $998244353$ 取模。限制是不存在一个未选的人 $x$ 和一个已选的人 $y$ 满足 $p_x > p_y$ 且 $q_x > q_y$。

$K \le n \le 300$。

先按照第一关键字从小到大排序。

设 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 和里面选了 $j$ 个未选择的人的最小值为 $k$ 时的方案数。则有

$$f_{i,j,k}=\sum f_{i-1.j-1,k} [a_i < k] \\ f_{i,j,\min \{ a_i,k\}}=\sum f_{i-1,j,k}$$

答案为 $\sum_{i=1}^{n} f_{n,K,i}$。

第一维可以用滚动数组优化掉。

时间复杂度 $\mathcal O(n^3)$。

ABC237F [dif:1857]

求满足下列条件的序列有多少种：长度为 $n$；每个元素的值满足 $1 \le x \le M$；最长上升子序列的长度恰好为 $3$。

$3 \le n \le 1000, 3 \le m \le 10$。

设 $f_{i,j,k,l}$ 表示前 $i$ 个数，最长上升子序列为 $j,k,l$ 的方案数。

则有转移方程：

$$f_{i,x,k,l} = \sum_{x \le j} f_{i,j,k,l} \\ f_{i,j,x,l} = \sum_{j < x \le k} f_{i,j,k,l} \\ f_{i,j,k,x} = \sum_{k < x \le l} f_{i,j,k,l}$$

考虑求 LIS （最长上升子序列）时那个 $\mathcal O(n \log n)$ 的做法，维护 LIS 每个位置的最小值。

由于这里 LIS 长度只有 $3$ 且值域很小，直接将其设为状态维护即可。

时间复杂度为 $\mathcal O(nm^4)$。

ABC237G [dif:2088]

给你一个长度为 $n$ 的排列，$Q$ 次操作，一个数 $x$。

操作分两种：区间升序排序 和 区间降序排序。

求最后 $x$ 所在位置。

$1 \le N,Q \le 2 \times 10^5$

发现我们只需要关注与 $x$ 的大小关系即可。

考虑这样一个做法，把 $\ge x$ 的数置为 $1$，其他为 $0$，然后用线段树维护区间覆盖和求和就可以简单维护。

再取一个序列把 $>x$ 的数置为 $1$，其他为 $0$，其他做法同上。

发现只有一处不同的地方，那便是 $x$ 所在。

时间复杂度 $\mathcal O(n + Q \log n)$。

ARC134D [dif:1998]

给你一个长度为 $2n$ 的序列 $a$，每次要同时选择 $a_i$ 和 $a_{i+n}$，问得到的子序列（下标必须递增）的字典序最小是多少？

设 $a_x = \min_{1 \le i \le n} \{a_i\}$ ，若 $a_x > a_{x+n}$ 那么选它即可。

若 $a_x \le a_{x+n}$，把所有 $=a_x$ 的元素选上是最优的。

再考虑选完这些元素之后，如果有 $a_j = a_{x+n}$ 那么还要确定选他会不会更优。

时间复杂度 $\mathcal O(n + n \log n)$。

ABC235F [dif:2129]

告诉你有那几个数能用，然后求有多少 $x \le n$ ，满足 $x$ 中存在所有能用的数。

$n \le 10^{10^4}$。

数位 DP 狗都不做。

（逮捕）

ABC234G [dif:2306]

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$，可以把它随意分成若干段。设分成了 $B_1, B_2,...,B_k$ 这几段，那么这次划分的贡献为：

$$\prod_{i=1}^{k} (\max \{ B_i \} - \min \{B_i\})$$

其中 $\max \{B_i\}$ 表示 $B_i$ 这段中的最大值，$\min$ 同理。

计算所有划分方案的价值和对 $998244353$。

$n \le 3 \times 10^5, 1 \le a_i \le 10^9$。

设 $f_i$ 表示前 $i$ 个元素构成的序列的所有划分方案的贡献和，则答案为 $f_n$。

一个显然的 $\mathcal O(n^2)$ DP 是

$$f_{i} = \sum_{j=0}^{i-1} f_j \times (\max_{j<k \le i} a_k - \min_{j<k\le i} a_k)$$

考虑把 $\max$ 和 $\min$ 拆开，一个加一个减。

单独考虑 $\max$ 的贡献，每个 $a_k$ 可以影响的是一段区间，可以对这段区间的 $f$ 用前缀和处理然后直接 $\mathcal O(1)$ 查询区间和。对于每个有贡献的 $a_k$，直接用单调栈维护即可。$\min$ 的贡献同理。

时间复杂度 $\mathcal O(n)$。

ARC136E [dif:3100]

给你 $n$ 个点，每个点有点权。如果两个点 $i,j$ 满足 $i<j$ 且 $\gcd(i,j) > 1$ ，则有连边 $i \to j$。选择一些点，使他们之间不可达，点权和尽可能大。求这个最大点权和。

$n \le 10^6$。

$1$ 可能能选。

剩下的，奇偶分类，偶数之间肯定有连边。对于奇数，设 $f(x)$ 表示 $x$ 的最小质因数。

最先和他联通的偶数是 $x-f(x)$ 和 $x + f(x)$。

如果一个奇数 $y$ 和他联通，那么 $x+f(x) \le y-f(y)$。

那奇数位置有贡献的区间为 $(x-f(x), x+f(x))$。

偶数位置有贡献的区间为 $[x,x]$。

在值域数组上差分统计，然后做个前缀和求最大值即可。

时间复杂度可以做到 $\mathcal O(n)$。