Codeforces 1800+ 乱做

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• CF1328D [dif:1800]
• CF1398D [dif:1800]
• CF1438C [dif:2000]
• CF1400D [dif:1900]
• CF1366D [dif:2000]
• CF1348D [dif:1900]
• CF1370D [dif:2000]
• CF1359D [dif:2000]
• CF1359E [dif:2000]
• CF1355E [dif:2100]
• CF765F [dif:3100]
• CF1416C [dif:2000]
• CF1110E [dif:2200]
• CF1101D [dif:2000]
• CF1513D [dif:2000]
• CF1467D [dif:2200]
• CF1006F [dif:2100]
• CF1473E [dif:2400]
• CF1637E [dif:2100]
• CF1628C [dif:2300]
• CF1166E [dif:2100]
• CF1088D [dif:2000]
• CF1408F [dif:2300]

CF1328D [dif:1800]

$T$ 组询问，每次给一个大小为 $1$ 的环，点 $i$ 的类型为 $a_i$，给每个点染色，如果相邻点类型不同则颜色必须不同，求最小使用的颜色数，输出方案，颜色编号从 $1$ 开始。

答案只可能是 $1,2,3$。讨论亿下即可。

CF1398D [dif:1800]

给你三个序列 $r,g,b$，分别有 $R,G,B$ 个元素，每次从两个序列中挑两个没选过的元素 $x,y$，贡献为 $x \times y$，可以挑无数次，问最大贡献。

贪心寄了！

反悔贪心也寄了！

考虑 DP，设 $f_{i,j,k}$ 表示 $r$ 序列中前 $i$ 个元素， $g$ 序列中前 $j$ 个元素，$b$ 序列中前 $k$ 个元素的最大贡献。（先排序），显然有转移方程：

$$f_{i,j,k} = \max\{f_{i,j-1,k-1} + g_j \times b_k, f_{i-1,j,k-1} + r_i \times b_k, f_{i-1,j-1,k} + r_i \times g_j\}$$

CF1438C [dif:2000]

给你一个 $n \times m$ 的矩阵，每个位置可以选择是否 $+1$，输出最后的矩阵使得没有相邻的位置相同。

把他当作一个二分图，按照 $i + j$ 的奇偶性讨论即可。

为什么这种题在 cf 能评 2000 ？？？而且还附带一堆高深算法

CF1400D [dif:1900]

给你一个长度为 $n$ 的序列，寻找满足 $a_i = a_k, a_j = a_l$ 的 $(i,j,k,l)$ 对数。$n \le 3000$

枚举 $j,k$ 的位置，然后算算两侧有多少相同的，乘法原理统计即可。

CF1366D [dif:2000]

给你 $n$ 个数，对于第 $i$ 个数 $a_i$，找到它的两个因子 $d_1, d_2$ ，使满足 $\gcd(d_1+d_2, a_i) = 1$。

$n \le 5 \times 10^5, a_i \le 10^7$

首先，如果 $x = p^k$ ，那么一定无解，因为任何因子都是 $p$ 的倍数。

然后，先说结论，设 $a = p^k q$ 且 $p \not \mid q$ ，则 $d_1 = p^k, d_2 = q$ 是一组合法解。

考虑证明，已知 $p^k \perp q$。

考虑反证法，假设 $(p^k + q) | a$ ，即 $(p^k + q) | p^kq$，可以得到下式

$$d(p^k + q) = p^k q$$

此处 $d$ 为正整数。

若 $q | d$，则

$$\begin{aligned} qd'(p^k + q) & = p^kq \\ d'(p^k+q) & = p^k \end{aligned}$$

不成立。

若 $q |(p^k+q)$ ，那么 $q | p^k$ ，与已知条件不符，也不成立。

综上，得证 $d_1 = p^k, d_2 = q$ 是一组合法的构造。

CF1348D [dif:1900]

开局有一个质量为 $1$ 的细菌，然后选任意个细菌分裂，质量平分，之后每个细菌质量 $+1$ ，让所有细菌质量和为 $n$ 需要几步操作，输出方案。

转化一下题意：假设当前有 $x$ 个细菌，和为 $sum$，每次可以将 $x$ 变为 $[x,2x]$ 中的任意一个数，然后让 $sum$ 加上 $x$。

每次加的越多越好，所以贪心加 $2x$。但是最后一次加的数可能小于 $x$，但是没关系，这次操作可以放在之前 $\le x$ 的某步操作内，然后按顺序求一遍答案即可。

CF1370D [dif:2000]

给你一个长度为 $n$ 的序列，选择一个长度为 $k$ 的子序列，它的贡献是 偶数位的最大值 和 奇数位的最大值 中的较小值，求这个值最小是多少。

$k \le n \le 2 \times 10^5, a_i \le 10^9$

假设贡献是偶数位的最大值，就相当于在序列中选 $\frac{k}{2}$ 个不相邻的数，最大值尽可能小。

可以二分，看看能选的数有没有达到 $\frac{k}{2}$ 。

奇数位同理。注意要分类讨论一下起点和终点能否选（需要给对方留）。

复杂度是 $\mathcal O(n \log V)$，其中 $V = 10^9$。

CF1359D [dif:2000]

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$，设 $s_i = \sum_{j=1}^{i} a_i$，求 $\displaystyle\max_{1\le l \le r \le n } \{s_r - s_{l-1} - \max_{l\le i \le r} \{a_i \}\}$ 。

$n \le 10^5, -30 \le a_i \le 30$。

枚举最大值 $a_i$ 的值然后求最大子段和。复杂度 $\mathcal O(61n)$。

CF1359E [dif:2000]

给你两个数 $n,k$，构造一个长度为 $k$ 的严格递增序列 $a$，需满足 $a_i < a_{i+1}$，并且满足

$$(((x \bmod a_1) \bmod a_2) ... )\bmod a_k = (((x \bmod a_{p_1}) \bmod a_{p_2}) ... )\bmod a_{p_k}$$

$p$ 序列是所有 $1 \sim n$ 的排列。

求构造的合法 $a$ 的方案数。

设构造序列中的最小值为 $a$，另一个值为 $b$，那么要满足

$$(x \bmod a) \bmod b = (x \bmod b) \bmod a$$

因为 $b > a$ ，所以左半部分相当于 $x \bmod a$。也就是说要满足下面的式子：

$$x \equiv x \% b \pmod a$$

设 $x = yb + t$，则

$$\begin{aligned} yb + t & \equiv t & \pmod a \\ yb & \equiv 0 & \pmod a \end{aligned}$$

也就是说 $a \mid b$ 。

于是我们可以枚举最小值，然后后面只能放它的倍数，用组合数直接算一下方案数即可。

CF1355E [dif:2100]

给你四个值 $n,A,R,M$，表示有 $n$ 个数，第 $i$ 个数为 $a_i$，目标是让他们变成同一个数，花费 $A$ 可以让某个数 $+1$，花费 $R$ 可以让某个数 $-1$，花费 $M$ 可以让一个数 $+1$ 一个数 $-1$。求最小花费。

$n \le 10^5, 0 \le A,R,M \le 10^4, 0 \le h_i \le 10^9$。

解决这题的关键需要发现它是一个单峰函数。

设需增加 $x$ 个，减少 $y$ 个最优，且 $y>x$，最终数值为 $h$。

如果 $A+R \le M$，那么贡献为 $Ax+Ry$ 。一个上升另一个就会下降，显然这是一个单峰函数。

否则，贡献为 $Mx+R(y-x)$，然后你考虑吧当前的数值 $h$ 加一或者减一，考虑它的变化量，发现它仍然是个单峰函数。

因此可以三分。为了防止边界出问题，一个技巧是把边界设成 $r-l<100$，最后一部分暴力枚举。

时间复杂度 $\mathcal O(n \log V)$。

CF765F [dif:3100]

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$，$m$ 次询问，每次询问给一个 $l,r$ ，求 $\displaystyle\min_{l\le i<j\le r}\{ |a_i - a_j|\}$。

$1 \le n \le 10^5, 1 \le m \le 3 \times 10^5, 0 \le a_i \le 10^9$。

考虑离线，用扫描线枚举右端点然后维护左端点的答案，

考虑新加一个点 $x$。

考虑有哪些点对可能有贡献，必定是一个递增的子序列，并且长度不超过 $\log V$ 。

对于长度 $\log$ 的证明，设有 $j<k<i$ 且 $a_i < a_j < a_k$ ，如果 $j,k$ 都能作为更新点，那么一定有 $a_k - a_i \ge 2(a_j - a_i)$ ，不然的话枚举 $k$ 的时候就能把 $j$ 更新，所以说这个距离每次可以缩到原来的 $\frac{1}{2}$，证毕。

然后查询的时候可以从右向左从大向小，用线段树维护答案，主席树维护值域上最靠右的位置。

因为主席树维护的是一个 $\max$ ，所以只能查一个前缀，所以要从右向左更新答案。

然后就做完了，时间复杂度是 $\mathcal O(n\log^2n)$。

CF1416C [dif:2000]

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$，异或一个数 $x$，使它的逆序对最少。

$1 \le n \le 3 \times 10^5, 1 \le a_i \le 10^9$。

从大到小按位考虑，只考虑这一位产生的逆序对，算一下填 $1$ 优还是填 $0$ 优，直接贪心取。

然后把这一位是 $0$ 的和这一位是 $1$ 的分成两部分分治考虑下一位即可。

注意每一位要放到最后一起贪心。

时间复杂度 $\mathcal O(n \log V)$。

CF1110E [dif:2200]

给你两个长度为 $n$ 的序列 $c,t$，每次可以这样操作：$c_i \to c_{i+1} + c_{i-1} - c_i$，问能不能将 $c$ 变成 $t$。

这个操作和 NOIP2021T3 可谓是完全一样啊/kx

每次操作相当于交换相邻两数的差值。

那么我们只需要比较一下差值的值域是否相同，首尾是否相同即可判断。

CF1101D [dif:2000]

给你一棵 $n$ 个点的树，每个点有权值，求一个点数最多且所有点点权的 $\gcd > 1$ 的链，输出链上点的个数。

$1 \le n, a_i \le 2 \times 10^5$。

发现 $2 \times 3 \times \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 > 2 \times 10^5$。

也就是说一个点的质因子最多有 $7$ 个，那么我们对齐质因数分解，将 $7$ 个质因子全部存下来进行 DP 即可。

设 $f_{u,i}$ 表示在 $u$ 的子树中以 $u$ 为一端 $\gcd$ 为 $a_u$ 的第 $i$ 个因子能够得到的最长链，$p_{i,j}$ 表示 $i$ 的第 $j$ 个因子。

转移方程：

$$\begin{aligned} ans & = \max \{ f_{u,i} + f_{v,j} + 1 \} [p_{u,i} = p_{v,j}] \\ f_{u,i} & = \max \{ f_{v,j} + 1 \} [p_{u,i} = p_{v,j}] \end{aligned}$$

然后就做完了。

CF1513D [dif:2000]

对于一个序列，若有 $(i,j)$ 满足 $\gcd_{k=i}^{j} a_k = \min_{k=i}^{j} a_k$ ，则连一条无向边 $(i,j)$，边权为 $\min_{k=i}^{j} a_k$；若有 $(i,j)$ 满足 $i+1=j$，连一条无向边 $(i,j))$，边权为 $p$。

给定一个长度为 $n$ 的序列谋求连边所构成图的 MST 的边权之和，多测。

$n \le 2 \times 10^5, 1 \le p,a_i \le 10^9$

通过手模或者观察，我们可以发现，如果有一段区间满足 $\gcd_{k=i}^{j} a_k = \min_{k=i}^{j} a_k$，那么这一段区间内的点都可以联通在一起。

于是我们就想按照 $a_i$ 从小到大枚举 $i$，然后暴力向两边扩展加边，因为一个点最多会被右边的点扩展一次，左边的点扩展一次，所以扩展次数是线性的，因为枚举的就是区间的最小值，所以直接判断是否满足 $a_i | a_j$ 即可。

CF1467D [dif:2200]

一条线段上有 $n$ 个点，机器人每次只能移动到自己相邻的点上，且不能离开这 $n$ 个点。每个点都有分数，分别是 $a_1,a_2,\dots,a_n$。 机器人将从任意一个点开始时，在线段上移动 $K$ 次，每到一个点（包括起始点和重复路过的点），机器人的总分就会加上该点的分数。

现在，我们将对这条线段作 $q$ 次单点点权修改，试求出所有的移动方案的机器人总分的总和。

$n,k \le 5000, a_i \le 10^9$

看到 $n,k$ 数据范围，一定是一个 $\mathcal O(nk)$ 的算法

设 $f_{i,j}$ 表示走了 $j$ 步到了 $i$ 的方案数，$g_{i,j}$ 表示从 $i$ 开始走 $j$ 步的方案数。发现 $f_{i,j} = g_{i,j}$，所以只记录一个即可。设 $t_i$ 表示 $i$ 这个点一共经过了多少次。所以：

$$\begin{aligned} f_{i,j} & = f_{i-1,j-1} + f_{i+1,j-1} \\ t_i & = \sum_{k=0}^{K} f_{i,0} \times f_{i,K-k} \end{aligned}$$

然后就做完了。

CF1006F [dif:2100]

给一个 $n \times m$ 的网格，每个位置有一个 $a_{i,j}$。从 $(1,1)$ 走到 $(n,m)$，每次只能向右或者向下，沿途要异或上 $a_{i,j}$，求有多少条路径异或和为 $k$。

$1 \le n \le m \le 20, 0 \le k \le 10^{18}$

发现 $n+m$ 只有 $40$，考虑折半搜索？

然后做完了。

CF1473E [dif:2400]

给你一个 $n$ 个点 $m$ 条带权无向边的图，无重边和自环。

我们这样规定一条路径的权值，设路径边集为 $E$，那么路径权值为 $\sum_{i \in E} w_i - \max_{i \in E} w_i + \min_{i \in E} w_i$。

求 $1$ 到第 $i$ 个点的路径权值的最小值。

$2 \le n \le 2 \times 10^5, 1 \le m \le 2 \times 10^5, 1 \le w_i \le 10^9$

弱化一下这个问题，就是一条路径，让一条边权值为 $0$，一条边权值为 $2w$，然后求最短路。

一种方式是设 $dis_{i,0/1,0/1}$ 表示到第 $i$ 个点，是否已选择边不计权值，是否已选择边权值为 $2w$。

另一种方式是建分层图，不过要建两次，一种是先 $0$ 后 $2w$，另一种是先 $2w$ 后 $0$。

两种方式本质上是差不多的。

然后跑 Dij 即可。复杂度为 $\mathcal O(m \log m)$。

CF1637E [dif:2100]

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$。给出如下定义：

• 定义 $cnt_x$ 为 $x$ 在数组 $a$ 中出现的次数，
• 定义 $f(x,y)=(cnt_x+cnt_y)\cdot(x+y)$。

同时，给定由 $2m$ 个数对 $(x_1,y_1),(y_1,x_1),(x_2,y_2),(y_2,x_2),\cdots,(x_m,y_m),(y_m,x_m)$ 组成的集合 $S$。

你需要计算出 $\max f(u,v)$，要求 $u,v$ 都出现在数组中，$u\neq v$ 且 $(u,v)$ 不在集合 $S$ 中。

这题 codeforces 上的标签给了暴力。

然后我们考虑存出现了 $i$ 次的数的最大值。不难发现我们最多会存 $\sqrt n$ 个。

然后暴力枚举一下每一对，一对是否合法直接从集合 $S$ 中查就好了。

然后就做完了。等等这个做法好像是错的。

如果去和最大值配对不合法，还得考虑次大值。

因此考虑用 vector 把所有次数为某个值的存下来。

然后枚举一下每个数，再枚举次数，然后从 vector 里从大到小枚举每个值判断，找到一组合法的之后直接退出。

算一下时间复杂度，外层枚举有 $n \sqrt n$ 次查询，vector 中的枚举最多会带来 $m$ 次查询。

因此复杂度为 $\mathcal O((n \sqrt n + m) \log m)$。

看上去是过不了的，也确实过不了，TLE 79 !!!。

然后考虑一些常数上的优化，外层改为倒叙枚举，内层在查询前先判断一下这次的贡献会不会更优，如果不优直接 break。内层查值判断的时候只找比自己大的，然后你就卡过去了。

其实如果你前两层都用来枚举次数的话，可以做到 $\mathcal O((n+m) \log m)$。

CF1628C [dif:2300]

给定 $n \times n$ 的矩阵 $a$，求 满足 $a$ 中任意一个元素等于 $b$ 中与其相邻的元素的异或和 的矩阵 $b$ 的异或和。

$2 \le n \le 1000$，$n$ 是偶数。

小清新构造题？

首先这是个二分图，奇偶之间不太影响。好像对答案也不影响

然后，你只需要把第一行全填 $0$，发现剩下的就都固定了。

CF1166E [dif:2100]

有一个长度为 $n$ （$n \le 10^4$） 的内容未知的序列，再给 $m$（$m \le 50$ ）个限制，每个限制会给一个位置集合 $S$，需要让 $S$ 中所有位置上的数的 $\text{lcm}$ 严格大于序列里剩下的数的 $\text{lcm}$，求是否存在一个这样的序列满足所有限制。

找一下这题的切入点，考虑一下集合之间的关系。

发现如果两个集合没有相交，那么一定无解，因为不可能出现我比你大，同时你比我大的情况。

那么合法的情况一定是所有的集合都有交。其实构造方案也非常简单，这个交设为 $2$，其他为 $1$ 就好了。不过题目没要求这个。

CF1088D [dif:2000]

交互题，你需要猜一对整数 $(a,b)$，每次你可以询问一组整数 $(c,d)$，系统会回答 $a \oplus c$ 和 $b \oplus d$ 的大小关系。询问格式是 ? c d，回答格式是 ! a b。

你一共有 $62$ 次询问机会，保证 $0 \le a, b< 2^{30}$。

可以先有一次询问 $0,0$ 确定 $a,b$ 的大小关系 $k$。记 $c,d$ 为当前确定的部分。

然后从大到小考虑每一位，先询问一手 $c|(1<<i), d|(1<<i)$ ，如果大小关系相同，说明 $a,b$ 这一位均为 $0$ 或者均为 $1$，然后可以再这一位分别放上 $1,0$ 再询问一遍确定是 $0$ 还是 $1$。

如果大小关系不同，则可以直接确定这一位是 $1$ 还是 $0$。然后需要重新问一遍去掉 $i$ 位后面这些位的 $a,b$ 的大小关系，依次来更新 $k$。

CF1408F [dif:2300]

题意：你需要选择 $q$ 个二元组 $(x_i,y_i)$，每次使得 $a_{x_i}$ 和 $a_{y_i}$ 的值变为 $f(a_{x_i},a_{y_i})$。$f(x,y)$ 的值为任意值，对于相同的 $x,y$，$f(x,y)$ 的值相同，请你找出一种可能使得对于任意函数 $f$ 经过 $q$ 次操作后数列中最多只有 $2$ 个不同的数。

手模发现对于一个长度为 $2^k$ 的序列是可以在 $2^k \log 2^k$ 的次数内化为相同的数。

那么对于一个长度不是 $2^k$ 的序列，找到最大的 $k$ 满足 $2^k \le n$，先对 $[1,2^k]$ 的区间操作一次，在对 $[n-2^k+1,n]$ 这段区间操作一次就做完了。算一下总次数是够的。