「笔记」高斯消元
消元法
先来看一下百度百科的定义：
消元法是指将许多关系式中的若干个元素通过有限次地变换，消去其中的某些元素，从而使问题获得解决的一种解题方法。
可能不好懂。
回想一下小学数学中解二元一次方程的方法
比如下面这个二元一次方程：
\[\begin{cases}
x + y = 10\\
x - y = 6
\end{cases}
\]
通过两式相加，可以得到
\[2x = 16
\]
进而解得
\[x=8
\]
把 \(x\) 代回就可以得到
\[y = 2
\]
发现，在解这个二元一次方程时，通过式子加减，我们把其中一个元 \(y\) 消掉，只剩下了 \(x\)，变成了我们可以直接得出解的形式。
这个解题方法就是消元法
高斯消元其实就是在模拟这个消元过程。
只不过元可能更多，式子可能更复杂，但好在这是计算机考虑的问题，与我们没有什么关系。
高斯消元
高斯-约旦消元法
与后面高斯消元法相比没有回带过程，实现起来也更加简单，精度方面也更加优秀
高斯消元的一般步骤是：
- 列出要进行消元的矩阵
- 枚举每一列
- 设枚举到第 \(i\) 列，找到第 \(i\) 列中系数最大的方程并将其交换到第 \(i\) 行
- 同过确定系数，加减消元等方法，将其他方程中的这个元的系数化为 \(0\)
- 求出每个未知数的解
进行高斯消元后是一个三角矩阵，而高斯-约旦消元法的结果是一个对角线矩阵
举个例子：
求解下面这个方程组
规定从上到下三个式子分别是 \(A\), \(B\), \(C\)。
\[\begin{cases}
3x + 2y + z = 10 \\
5x + y +6z = 25 \\
2x + 3y + 4z = 20
\end{cases}
\]
把它转化成矩阵形式
\[\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 & \mid & 10 \\
5 & 1 & 6 & \mid & 25 \\
2 & 3 & 4 & \mid & 20
\end{bmatrix}
\]
左边是每个未知数的常数项，右边是该式结果，中间用一条竖线隔开
我们从第一列开始消元
找到第一列最大的一个，与第一行交换
\[\begin{bmatrix}
5 & 1 & 6 & \mid & 25 \\
3 & 2 & 1 & \mid & 10 \\
2 & 3 & 4 & \mid & 20
\end{bmatrix}
\]
我们要将第一列的其他两项化为 \(0\)
\(B = B - \frac{3}{5}A\)
\(C = C - \frac{2}{5}A\)
然后变成这样：
\[\begin{bmatrix}
5 & 1 & 6 & \mid & 25 \\
0 & \frac{7}{5} & -\frac{13}{5} & \mid & -5 \\
0 & \frac{12}{5} & \frac{2}{5} & \mid & 5
\end{bmatrix}
\]
然后在看第二列，把第二列系数最大的那个方程换到第二列。
\[\begin{bmatrix}
5 & 1 & 6 & \mid & 25 \\
0 & \frac{12}{5} & \frac{2}{5} & \mid & 5 \\
0 & \frac{7}{5} & -\frac{13}{5} & \mid & -5
\end{bmatrix}
\]
继续进行消元操作，不过这次我们要把方程 \(A\) 的第二列的元也消掉
\(A = A - \frac{5}{12}B\)
\(C = C - \frac{7}{12}B\)
矩阵变为：
\[\begin{bmatrix}
5 & 0 & \frac{35}{6} & \mid & \frac{275}{12} \\
0 & \frac{12}{5} & \frac{2}{5} & \mid & 5 \\
0 & 0 & \frac{17}{6} & \mid & \frac{95}{12}
\end{bmatrix}
\]
继续对第三列进行相同操作，矩阵变为：
\[\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 & \mid & \frac{225}{34} \\
0 & \frac{12}{5} & 0 & \mid & 5 \\
0 & 0 & \frac{17}{6} & \mid & \frac{66}{17}
\end{bmatrix}
\]
到此消元结束，发现每个方程只剩下一个变量，直接解出来输出结果即可。
如果不懂的话可以看一下代码实现。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: P3389 【模板】高斯消元法
Knowledge: 高斯-约旦消元法
Time: O(n^3)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 105;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n;
double a[MAXN][MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n + 1; ++j)
scanf("%lf", &a[i][j]); // 读入方程组
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
int Max = i;
for(int j = i + 1; j <= n; ++j) if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[Max][i])) Max = j; // 选出该列最大系数
for(int j = 1;j <= n + 1; ++j) swap(a[i][j], a[Max][j]); // 交换这两行
if(!a[i][i]) { // 最大值等于 0 则说明该列都为 0，肯定无解
puts("No Solution");
return 0;
}
for(int j = 1; j <= n; ++j) { // 对每一行进行加减消元
if(j != i) {
double tmp = a[j][i] / a[i][i];
for(int k = i + 1; k <= n + 1; ++k) a[j][k] -= a[i][k] * tmp;
}
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%.2lf\n", a[i][n + 1] / a[i][i]);
return 0;
}
高斯消元法
没写过。
实现起来与高斯-约旦类似，添了一个回带的过程
在这里粘一个 皎月半撒花 大佬的板子
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
double map[111][111];
double ans[111];
double eps=1e-7;
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n+1;j++)
scanf("%lf",&map[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++){
int r=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(fabs(map[r][i])<fabs(map[j][i]))
r=j;//find_the_biggest_number_of_the_first_column（at present)
if(fabs(map[r][i])<eps){
printf("No Solution");
return 0;
}
if(i!=r)swap(map[i],map[r]);//对换一行或一列,属于找最大当前系数的其中一步。（这样就可以只处理当前行的系数啦！）
double div=map[i][i];
for(int j=i;j<=n+1;j++)
map[i][j]/=div;
for(int j=i+1;j<=n;j++){
div=map[j][i];
for(int k=i;k<=n+1;k++)
map[j][k]-=map[i][k]*div;
}
}
ans[n]=map[n][n+1];
for(int i=n-1;i>=1;i--){
ans[i]=map[i][n+1];
for(int j=i+1;j<=n;j++)
ans[i]-=(map[i][j]*ans[j]);
}//回带操作
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%.2lf\n",ans[i]);
}
