P5142 区间方差 题解
简述题意
给一段序列，支持区间求方差，单点修改
前置芝士
- 线段树/树状数组/分块
- 逆元
- 推式子
Solution
题目中已经给出了方差的求法，我们这里设 \(len\) 表示要求的区间长度：
\[d = \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} (a_i - \overline{a})^2
\]
看上去不好维护，让我们化简试试：
\[d = \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} (a_i^2 - 2 \cdot a_i \cdot \overline{a} + \overline{a}^2)
\]
直接利用乘法分配律将其分开：
\[d = \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} a_i^2 - \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} 2 \cdot a_i \cdot \overline{a} + \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} \overline{a}^2
\]
很简单的昂，把无关项提出来,得到：
\[d = \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} a_i^2 - 2 \cdot \overline{a} \cdot \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} a_i + \overline{a}^2
\]
因为 \(\overline{a} = \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} a_i\)，所以继续化简可以得到：
\[d = \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} a_i^2 - 2 \cdot \overline{a}^2 + \overline{a}^2
\]
\[d = \frac{1}{len} \sum_{i = l}^{r} a_i^2 - \overline{a}^2
\]
然后直接pia的一下，把线段树扔上去，维护个区间和和区间平方和，连Push_down都不需要写，就做完了。
但是！！
我们知道方差经常是分数形式，并且这还是在模意义下。
那么求出分母的逆元就好了，具体原理见有理数取余。
求逆元有两种方法（我们定义 \(a\) 的逆元为 \(a^{-1}\)）：
-
费马小定理：\(a^{-1} = a^{p - 2} \bmod {p}\)；
-
线性求逆元递推公式：
$inv_i = (p - \frac{p}{i}) \times inv_{p \bmod i} \bmod p $，证明的话可以看这道题。
Tips:
- 记得开
long long； - 取模要彻底。
剩下的看代码吧。
Code
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: P5142 区间方差
Knowledge: 线段树
Time: O(nlogn)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
#define int long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n, m;
int a[MAXN], inv[MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace Seg{
#define lson i << 1
#define rson i << 1 | 1
struct Tree{ int val, sum; }tree[MAXN << 2];
void Push_up(int i) { // 更新
tree[i].val = (tree[lson].val + tree[rson].val) % mod;
tree[i].sum = (tree[lson].sum + tree[rson].sum) % mod;
}
void Build(int i, int l, int r) { // 建树
if(l == r) { tree[i].val = a[l] % mod, tree[i].sum = a[l] * a[l] % mod; return ; }
int mid = (l + r) >> 1;
Build(lson, l, mid), Build(rson, mid + 1, r);
Push_up(i);
}
void Modify(int i, int l, int r, int L, int R, int val_) { // 单点修改，粘的模板所以写的区间修改的形式
if(L <= l && r <= R) { tree[i].val = val_ % mod, tree[i].sum = val_ * val_ % mod; return ; }
int mid = (l + r) >> 1;
if(mid >= L) Modify(lson, l, mid, L, R, val_);
if(mid < R) Modify(rson, mid + 1, r, L, R, val_);
Push_up(i);
}
int Query1(int i, int l, int r, int L, int R) { // 区间和
if(L <= l && r <= R) return tree[i].val;
int mid = (l + r) >> 1, ans = 0;
if(mid >= L) ans += Query1(lson, l, mid, L, R);
if(mid < R) ans += Query1(rson, mid + 1, r, L, R);
return ans % mod;
}
int Query2(int i, int l, int r, int L, int R) { // 区间平方和
if(L <= l && r <= R) return tree[i].sum;
int mid = (l + r) >> 1, ans = 0;
if(mid >= L) ans += Query2(lson, l, mid, L, R);
if(mid < R) ans += Query2(rson, mid + 1, r, L, R);
return ans % mod;
}
}
void Init() {
inv[0] = inv[1] = 1; // 线性求逆元，注意初始化
for(int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
}
int Quick_Pow(int x, int p, int mod) { // 快速幂（然而没用到
int res = 1;
while(p) {
if(p & 1) res = res * x % mod;
x = x * x % mod;
p >>= 1;
}
return res;
}
signed main()
{
n = read(), m = read();
Init();
for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
Seg::Build(1, 1, n);
for(int i = 1, opt, l, r; i <= m; ++i) {
opt = read(), l = read(), r = read();
if(opt == 1) Seg::Modify(1, 1, n, l, l, r);
else {
int len = r - l + 1;
int sum1 = Seg::Query1(1, 1, n, l, r) * inv[len] % mod;
int sum2 = Seg::Query2(1, 1, n, l, r) * inv[len] % mod;
printf("%lld\n", (sum2 - sum1 * sum1 % mod + mod) % mod);
}
}
return 0;
}
