20210314 简单题专场
是我不配AK了
写在前面
真的是简单题了
码量也不大,两道洛谷原题，龙终于良心了一回（泪目！）
但还有套更难的/jk （虽然没考，但我一会不会
期望得分：\(100pts + 100pts + 100pts = 300pts\)
实际得分：\(100pts + 100pts + 50pts = 250pts\)
丢的 \(50\) 分竟然是多了一个 \(+1\)
wtcl /kk
T1 序列合并
Description
有两个长度都为 \(N\) 的序列 \(A\) 和 \(B\)，在 \(A\) 和 \(B\) 中各取一个数相加可以得到 \(N^2\) 个和，求这 \(N^2\) 个和中最小的 \(N\) 个。数据范围：\(N \le 1e5\)
保证两个序列单调不降
Solution
\(N^2\) 显然不可取，可以直接根据序列的性质来做
设 \(f_{i, j}\) 表示 \(A\) 序列的第 \(i\) 个元素和 \(B\) 序列的第 \(j\) 个元素的和（设个 \(f\) 只是为了方便理解，不用写进代码）
根据所给的序列的性质会发现 \(f_{i, j} \le f_{i, j + 1}\) 一定成立
注意如果 \(i\) 不同，比较起来较为麻烦
考虑维护一个优先队列，并不是把 \(n^2\) 个数都放进去，
先放进去所有 \(f_{i, 1}(1 \le i \le n)\)，然后每次取出队首就是当前的答案之一，直接输出即可
设取出的数为 \(f_{i, j}\)，那么把它弹出后再把 \(f_{i, j + 1}\) 放进去， 循环 \(n\) 次；
正确性？应该比较显然。
因为 \(f\) 每一行第一个数最小，而行与行之间又不方便比较，所以初始化要塞进 \(f\) 中每一行的第一个元素
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
struct node{
int fir, sec, val;
bool operator < (const node &b) const { return val > b.val; }
};
int n;
int a[MAXN], b[MAXN];
priority_queue<node> q;
int read() {
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
int main()
{
freopen("sequence.in","r",stdin);
freopen("sequence.out","w",stdout);
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) q.push((node){i, 1, a[i] + b[1]});
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
node t = q.top(); q.pop();
q.push((node){t.fir, t.sec + 1, a[t.fir] + b[t.sec + 1]});
printf("%d ", t.val);
}
return 0;
}
T2 扩散
Description
Solution
最先与每个点联通的肯定是离他最近的点
所以答案应该是一个点与离他最近的点的距离最远的时候
考虑把 \(n\) 个点之间的距离关系都记录下来建图，跑一棵最小生成树，生成树上最后练的那一条边就是要求的答案
两个点 \(a, b\) 相连同所需时间是
为什么加一？手模几个样例就知道了
Code
/*
对于每一个点来说，肯定最先和里他最近的点相连
最小生成树？
找到第n - 1条边就是答案？
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
const int MAXN = 1e3+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
struct edge{
int from, to, w;
}e[MAXN * MAXN];
int num_edge = 0;
bool cmp(edge x, edge y) { return x.w < y.w; }
int n, cnt, ans;
int fa[MAXN];
int sx[MAXN], sy[MAXN];
int read() {
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void add_edge(int from, int to, int w) { e[++num_edge] = (edge){from, to, w}; }
int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }
int Calc(int sx, int sy, int ex, int ey) { return (abs(sx - ex) + abs(sy - ey) + 1) / 2; } // 加 1 是为了修正计算结果 (应该没算错
int main()
{
freopen("spread.in","r",stdin);
freopen("spread.out","w",stdout);
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) sx[i] = read(), sy[i] = read();
for(int i = 1; i < n; ++i) {
for(int j = i + 1; j <= n; ++j) {
int dis = Calc(sx[i], sy[i], sx[j], sy[j]);
add_edge(i, j, dis);
}
}
sort(e + 1, e + num_edge + 1, cmp);
for(int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i;
for(int i = 1; i <= num_edge; ++i) {
int uf = find(e[i].from), vf = find(e[i].to);
if(uf != vf) {
fa[uf] = vf;
cnt ++;
if(cnt == n - 1) {
ans = e[i].w;
break;
}
}
}
printf("%d", ans);
return 0;
}
T3 攻击策略
Description
植物大战僵尸这款游戏中，还有一个特别的玩儿法：玩家操纵僵尸进攻植物。
首先，僵尸有 \(m\) 种（每种僵尸都是无限多的），玩家可以选择合适的僵尸来进攻。使用第 \(i\) 种僵尸需要花费 \(W_i\)资源，可以得到 \(P_i\) 的攻击效果。在这里，我们认为多个僵尸总的攻击效果就是他们每个攻击效果的代数和。
地图共有 \(n\) 行，对于第 \(i\) 行，最左端有若干植物，这些植物需要至少 \(Q_i\) 的攻击才能被全部消灭。若一行上的植物全部被消灭，我们称这一行被攻破。
由于资源紧张，你只有总量为 \(K\) 的资源，不一定能够攻破所有行。但统治者希望攻破相邻的 \(T\) 行，并希望 \(T\) 尽量的大。你能帮他算出 \(T\) 的值吗？
数据范围：\(n \le 2e5，m \le 100，K \le 1e3，Pi、Qi \le 1e8\)
懒得简化题面了
Solution
要求 \(T\) ，而且还不好确定？
考虑二分一下 \(T\)
每次判断的时候 \(O(n)\) 扫一遍整个区间，看看有没有长度为 \(T\) 的区间所需的花费小于 \(K\) 即可
求区间和时可以 \(O(1)\) 做，维护一个前缀和即可
现在让我们考虑求出每一行所需的最小花费
发现求攻击效果到达 \(Q_i\) 时的花费复杂度太高
不如先求出 \(x\) 的花费最多能达到多大的攻击效果
把 \(x\) 看做背包容量，\(m\) 种僵尸看做物品，\(W_i\) 当做花费， \(P_i\) 当做价值，跑一个裸的完全背包即可
发现这个玩意一定是单调不降的，直接用 lower_bound 函数求出每一行的最小花费即可（即要获得 \(Q_i\) 的价值最小要多少花费，下标刚好就是要求的花费）
但是！
这个 lower_bound 的区间和平常不太一样，因为花费可以为 \(0\)（或者说价值为 \(0\) 是不需要花费），所以应该改成 lower_bound(f, f + K + 1, Qi) - f 的形式
就因为这个小错误，五十分啊！！！
现在要处理的都处理出来了，二分答案即可
Code
/*
二分 T 值
O(n) 判断是否可行
总复杂度 O(nlogn)
预处理出每一行被攻破所需的最小花费
发现K，m很小
跑一遍多重背包获得花费 x 最多获得的攻击力
（理论上来说是单调不降的？所以对于每行所需最小花费可以log查询了？
总复杂度O(2nlogn + mK)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n, m, K, ans;
int cost[MAXN], val[MAXN];
int f[MAXN];
int a[MAXN], ned[MAXN], sum[MAXN];
int read() {
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
bool check(int mid) {
for(int i = 0; i <= n - mid; ++i)
if(sum[i + mid] - sum[i] <= K) return true;
return false;
}
int main()
{
freopen("attack.in","r",stdin);
freopen("attack.out","w",stdout);
m = read(), n = read(), K = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i) cost[i] = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i) val[i] = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
for(int i = 1; i <= K; ++i) { // 枚举背包容量
for(int j = 1; j <= m; ++j){ // 枚举所用的僵尸
if(i - cost[j] < 0) continue; // 多重背包跑法
f[i] = max(f[i], f[i - cost[j]] + val[j]);
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
ned[i] = lower_bound(f, f + K + 1, a[i]) - f; //找到攻破每一行所需的最小花费
sum[i] = sum[i - 1] + ned[i]; // 维护一个前缀和，方便求区间和
}
int L = 0, R = n;
while(L <= R) {
int mid = (L + R) >> 1;
if(check(mid)) ans = mid, L = mid + 1;
else R = mid - 1;
}
printf("%d", ans);
return 0;
}
