算法总结篇---AC自动机
乘上与平时相反的列车，为了去见从未见过的风景。
写在前面
鸣谢：
OiWiki
「笔记」AC 自动机---LuckyBlock
字符串四姐妹---KnightL
AC自动机讲解超详细---某不知名大佬
Q：AC自动机？是能自己AC题目的算法吗？（兴奋）
A：不不不，那叫自动AC机，通过打开答案文件输出答案的一种小手段，在比赛中使用还会有禁赛三年的奖励，而AC自动机是一个字符串匹配算法
AC自动机，全称\(Aho-Corasick\ automaton\)，是一种用来处理字符串多模式匹配的算法
本人将尽可能详细的解释AC自动机的算法流程(其实大部分抄的Oiwiki，这是一个帮助我们共同理解的过程，毕竟作者也是个萌新。开始接受的过程可能比较困难，但多回顾几遍还是有助于理解的
算法流程
什么是自动机？（粘个链接，感性理解就好，不要过于执着）
引例：
给定 \(n\) 个模式串 \(s_i\) 和一个文本串 \(t\)，求有多少个不同的模式串在文本串里出现过。
两个模式串不同当且仅当他们编号不同。
概述：
结合Trie的结构和KMP的思想建立，建立一个AC自动机主要通过两个步骤：
-
1、建立Trie树；
-
2、对Trie树上的所有结点构造失配指针
Trie树的构建（第一步）
这个Trie树就是普通的Trie树，该怎么建怎么建
解释一下Trie树结点的含义：表示某个模式串的前缀
后文也将称作状态。一个结点表示一个状态，Trie树的边就是状态的转移
形式化的说，对于若干个模式串 \(s_1,s_2,s_3···s_n\)，将它们构建一个Trie树后的所有状态的集合记为 \(Q\)
失配指针（第二步）
AC 自动机利用一个 fail 指针来辅助多模式串的匹配。
状态 \(u\) 的 fail 指针指向另一个状态 \(v\) ，其中 \(v \in Q\) ，且 \(v\) 是 \(u\) 的最长后缀（即在若干个后缀状态中取最长的一个作为 fail 指针）。
注意和KMP的next指针的区别：
两者都是在失配的时候用于跳转的指针；
next指针求的是最长的border（最长的 相同的 前后缀），而fail指针指向所有模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀
因为 KMP 只对一个模式串做匹配，而 AC 自动机要对多个模式串做匹配。有可能 fail 指针指向的结点对应着另一个模式串，两者前缀不同。但是另一个模式串的一定是这个模式串到这里的一个后缀。
AC 自动机在做匹配时，同一位上可匹配多个模式串。
构建失配指针
（可以参考KMP中构建next指针的思想（
考虑更新 \(fail_u\)，\(u\) 的父节点是 \(p\) , \(p\) 通过字符 \(c\) 的边指向 \(u\) ，即 \(tr[p,c] = u\) 。假设深度小于 \(u\) 的所有结点的 \(fail\) 指针均已求得。
如果 \(tr[fail_p,c]\) 存在：则让 \(fail_u\) 指向 \(tr[fail[p],c]\) 。相当于在 \(p\) 和 \(fail\) 后面加一个字符
c，分别对应 \(u\) 和 \(fail_u\) 。
如果 \(tr[fail_p,c]\) 不存在：那么我们继续找到 \(tr[fail_{fail_p},c],c]\) 。重复 \(1\) 的判断过程，一直跳 \(fail_u\) 指针指到根结点。
如果真的没有，就让 \(fail_u\) 指针指向根结点。
举个例子，对字符串 i, he, his, she, hers 组成的字典树构建 fail 指针：
给张图，其中黄色点表示当前结点 \(u\)，绿色点表示已经 bfs 完成的点，橙边是 fail 指针，红边是当前求出的 fail 指针。
重点分析一下 \(6\) 的构建
通过瞪眼法不难看出 \(fail[6]\) 应该指向结点 \(7\)。
分析一下算法流程，找到 \(6\) 的父节点 \(5\)，\(fail[5] = 10\) 然而没有 \(s\) 的出边，所以继续跳 \(fail\) 指针，\(fail[10] = 0\)，发现 \(0\) 有 \(s\) 的出边并指向 \(7\)，所以 \(fail[6] = 7\)。
全部建完后的图是这样的：
这样就完成了 \(fail\) 的构建，并得到一份比较暴力的构建方式，我们来看优化
字典树和字典图
先来看构建函数 build() ，该函数的目标有两个，一个是构建 fail 指针，一个是构建自动机。
void build(){
for(int i = 0; i < 26; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]); // tr[0][i] 都指向 0 结点，所以不用赋初值
//如果存在这个边就入队
while(!q.empty()){
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 26; ++i){
if(tr[u][i]) fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);
//按照上面所说的方式更新fail指针
else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];//这是那个优化，后面会讲
}
}
}
我们是通过 bfs 构建 fail 指针的，而 fail 指针一定是由深度深的点指向深度浅的点。
我们由已经构建完成的点去构建未构建的点，假设我们当前的已经构建完成的一个状态是 \(u\)，通过字符 \(i\) 指向下一个状态。
- 如果存在下一个状态 \(tr[u][i]\)，那么就让 \(fail[tr[u][i]]\) 指向 \(tr[fail[u]][i]\)。
正确性应该比较显然，如果 \(u\) 失配了会指向 \(fail[u]\)，那么在 \(u\) 后面接了一个状态 \(i\) 后再失配就应该指向 \(fail[u]\) 在后面接一个状态 \(i\) 在失配的位置。
那如果没有这个位置怎么办？\(fail[u]\) 的深度一定比 \(u\) 的深度浅，所以它已经被处理完了，如果 \(tr[fail[u]][i]\) 有值，那么要么是它在 \(fail[u]\) 的模式串下在后面接一个字符 \(i\)，要么是在 \(fail[fail[u]]\) 的模式串下在后面接一个字符 \(i\)，...。不断这么递归，就算最终也没有，那也只能说明指向了根节点，并不影响正确性。 - 如果不存在下一个状态 \(tr[u][i]\)，我们让它指向 \(tr[fail[u]][i]\)，就是为了保证上面第一种情况的正确性。并且通过这步操作，我们可以在匹配的过程中自动跳 \(fail\) 指针，不必再单独进行判断。
原来的构建方法可以通过 \(while\) 循环寻找 \(fail\) 结点实现，循环太多次导致复杂度太高
上面提到的优化就是通过else语句的代码修改了字典树的结构。
而它将不存在的字典树状态链连接到失配指针的对应状态。使得再次遍历这里的时候会继续向下跳转，起到一个通过继续开链来压缩路径的效果，这样就能节省很多时间。
这样 AC 自动机修改字典树结构连出的边就会使字典树变为字典图。
如果有人想看更杂乱更加形象的图的话：
其中：
- 蓝色结点：BFS 遍历到的结点 u
- 蓝色的边：当前结点下，AC 自动机修改字典树结构连出的边。
- 黑色的边：AC 自动机修改字典树结构连出的边。
- 红色的边：当前结点求出的 fail 指针
- 黄色的边：fail 指针
- 灰色的边：字典树的边
可以发现，众多交错的黑色边将字典树变成了 字典图。图中省略了连向根结点的黑边（否则会更乱）。我们重点分析一下结点 5 遍历时的情况。我们求 \(tr[5][s]\) 的 fail 指针：
本来的策略是找 fail 指针，于是我们跳到 \(fail[5] = 10\) 发现没有 s 连出的字典树的边，于是跳到 \(fail[10] = 0\)，发现有 \(tr[0][s] = 7\) ，于是 \(fail[6] = 7\) ；但是有了黑边、蓝边，我们跳到 \(fail[5] = 10\) 之后直接走 \(tr[10][s] = 7\) 就走到 \(7\) 号结点了。
这就是 build 完成的两件事：构建 fail 指针和建立字典图。这个字典图也会在查询的时候起到关键作用。
在贴一个最终状态的图。这张图真是令人作呕
多模式匹配
（这只是对于引例的query函数，具体题目的函数写法可能不太相同）
int query(char *t){
int u = 0, res = 0;
for(int i = 1; t[i]; ++i){
u = tr[u][t[i] - 'a'];
for(int j = u; j && e[j] != -1; j = fail[j]){
res += e[j], e[j] = -1;
}
}
return res;
}
这里 \(u\) 作为字典树上当前匹配到的结点， \(res\) 即返回的答案。循环遍历匹配串， \(u\) 在字典树上跟踪当前字符。利用 \(fail\) 指针找出所有匹配的模式串，累加到答案中。然后清零。对 \(cnt[j]\) 取反的操作用来判断 \(cnt[j]\) 是否等于 \(-1\)。在上文中我们分析过，字典树的结构其实就是一个 \(trans\) 函数，而构建好这个函数后，在匹配字符串的过程中，我们会舍弃部分前缀达到最低限度的匹配。\(fail\) 指针则指向了更多的匹配状态。
更加形象的匹配过程：
其中：
- 红色结点： \(p\) 结点
- 粉色箭头： \(p\) 在自动机上的跳转，
- 蓝色的边：成功匹配的模式串
- 蓝色结点：示跳 fail 指针时的结点（状态）。
例题
P3808 【模板】AC自动机（简单版）
做法即上面的引例，这里不再详细介绍。
P3796 【模板】AC自动机（加强版）
Solution
保证不会存在相同的字符串，那么在插入的末尾标记一下这是第几个字符串。
在询问的时候，对于每个状态不断跳 \(fail\) 指针找到它的所有状态，把遇到的末尾标记对应记录一个 \(cnt\) 进行累加统计。
最后扫一遍 \(cnt\) 的数组找出最大值
Code
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e6+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n;
char s[220][77];
char t[MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace AC {
int tr[MAXN][26], tot = 0;
int e[MAXN], cnt[MAXN], fail[MAXN];
queue<int> q;
void Clear() {
memset(tr, false, sizeof tr);
memset(e, false, sizeof e);
memset(cnt, false, sizeof cnt);
memset(fail, false, sizeof fail);
tot = 0;
}
void Insert(char *s, int id) {
int now_ = 0;
for(int i = 1; s[i]; ++i) {
if(!tr[now_][s[i] - 'a']) tr[now_][s[i] - 'a'] = ++tot;
now_ = tr[now_][s[i] - 'a'];
}
e[now_] = id;
}
void Get_fail() {
for(int i = 0; i < 26; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
while(!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 26; ++i) {
if(tr[u][i]) fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);
else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];
}
}
}
void Query(char *t) {
int u = 0;
for(int i = 1; t[i]; ++i) {
u = tr[u][t[i] - 'a'];
for(int j = u; j; j = fail[j]) cnt[e[j]]++;
}
}
}
int main()
{
while(true) {
AC::Clear();
n = read();
if(!n) return 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%s", s[i] + 1), AC::Insert(s[i], i);
scanf("%s", t + 1);
AC::Get_fail();
AC::Query(t);
int Max = -1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) Max = max(Max, AC::cnt[i]);
printf("%d\n", Max);
for(int i = 1; i <= n; ++i) if(Max == AC::cnt[i]) printf("%s\n", s[i] + 1);
}
return 0;
}
P5357 【模板】AC自动机（二次加强版）
Solution
显然此时暴跳已经不能满足我们的需求，毕竟随便一个 \(aaa...aaa\) 的串就能把我们卡成 \(O(n^2)\) 的。
我们发现 \(fail\) 指针总是由深度深的点指向深度浅的点，那么所有 \(u\) 向 \(fail[u]\) 的连边就恰好构成了一个 \(DAG\)，那么我们可以在匹配到每个节点的时候先不调 \(fail\) 指针，只是标记一下，留到最后一起跳。那样就可以做到线性的复杂度了。
Code
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑题
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能过)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 2e6+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n;
char s[MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace AC {
int tr[MAXN][26], tot = 0;
int fail[MAXN], e[MAXN], cnt[MAXN], pre[MAXN], id[MAXN];
queue<int> q;
void Insert(char *s, int bh) {
int u = 0;
for(int i = 1; s[i]; ++i) {
if(!tr[u][s[i] - 'a']) tr[u][s[i] - 'a'] = ++ tot;
u = tr[u][s[i] - 'a'];
}
e[u]++;
pre[bh] = u;
}
void Get_fail() {
for(int i = 0; i < 26; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
while(!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 26; ++i) {
if(tr[u][i]) fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]), id[fail[tr[u][i]]]++;
else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];
}
}
}
void Query(char *s) {
int u = 0;
for(int i = 1; s[i]; ++i) {
u = tr[u][s[i] - 'a'];
cnt[u]++;
}
}
void Topsort() {
for(int i = 1; i <= tot; ++i) if(!id[i]) q.push(i);
while(!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
int v = fail[u];
cnt[v] += cnt[u];
if(!--id[v]) q.push(v);
}
}
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%s", s + 1);
AC::Insert(s, i);
}
AC::Get_fail();
scanf("%s", s + 1);
AC::Query(s);
AC::Topsort();
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
printf("%d\n", AC::cnt[AC::pre[i]]);
}
return 0;
}
P2444 [POI2000]病毒
Solution
如何确定它是安全的？
找到一个循环节，使他永远不会循环到一个结尾结点。可以用 dfs 判环。
注意，如果一个结点的 \(fail\) 指针被标记，那么它也是危险的，也应该被标记。
因为这个结点的 \(fail\) 指针指向的模式串是这个结点所对应的模式串的后缀。
Code
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑题
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能过)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e6+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n;
char s[MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace AC {
int tr[MAXN][2], tot = 0;
int fail[MAXN], e[MAXN];
bool vis[MAXN], f[MAXN];
queue<int> q;
void Insert(char *s) {
int u = 0;
for(int i = 1; s[i]; ++i) {
if(!tr[u][s[i] - '0']) tr[u][s[i] - '0'] = ++ tot;
u = tr[u][s[i] - '0'];
}
e[u] ++;
}
void Get_fail() {
for(int i = 0; i < 2; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
while(!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 2; ++i) {
if(tr[u][i]) {
fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);
if(e[fail[tr[u][i]]]) e[tr[u][i]]++;
}
else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];
}
}
}
bool dfs(int u) {
vis[u] = true;
for(int i = 0; i < 2; ++i) {
if(vis[tr[u][i]]) return true;
if(!e[tr[u][i]] && !f[tr[u][i]]) {
f[tr[u][i]] = true;
if(dfs(tr[u][i])) return true;
}
}
vis[u] = false;
return false;
}
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%s", s + 1), AC::Insert(s);
AC::Get_fail();
AC::dfs(0) ? puts("TAK") : puts("NIE");
return 0;
}
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写在后面
如有不懂或错误烦请指出，我会在最快的时间处理。
最后，屑题单求收藏qwq
