中国剩余定理
写在前面
Q：中国剩余定理很难吗？
A：就是个求解同余方程组的东东
(话说 \(OI\) 只要能理解应用就好吧，证明是不是可以先放一放)因为我太菜了
Update 2021/04/11：终于理解中国剩余定理，还是tcl
正文
《孙子算经》中有这么一道题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
翻译一下就是：已知一个正整数模3余2，模5余3，模7余2，求这个数是几？
写成数学语言，就是求解同余方程组
乍一看，这不很简单蛮，随便带进两个数试试不就行了
但是你现在可以直接观察并且数据小，如果数据大了呢，同余方程组不只是三个呢？
这就需要我们的“中国剩余定理”登场了
中国剩余定理公式：
设正整数 \(m_1, m_2, m_3, ···,m_k\) 两两互素，则同余方程组
有整数解。并且在模 \(M = m_1 \times m_2 \times ··· \times m_k\) 下解是唯一的，解为
\[x \equiv (a_1 M_1 M_1^{-1} + a_2 M_2 M_2^{-1} + ··· + a_k M_k M_k^{-1}) mod \ \ M \]其中 \(M_i = M / m_i\) ， 而 \(M_i^{-1}\) 为 \(M_i\) 模 \(m_i\) 的逆元
对于上面这个构造公式，我们可以代入每个方程来验证一下是否正确。
以第一个方程为例。
因为 \(M_1\) 中无 \(m_1\) 因子，且 \(M_1 \times M_1^{-1} = 1\)，所以第一项为 \(1\)。
而对于其他项，因为 \(M_i\) 中均有 \(m_1\) 这个因子，因此 \(a_i M_i M_i^{-1} \equiv 0 \pmod {m_1}\)。
因此对于整个解有 \(x \equiv a_1 \pmod {m_1}\)。
其他同理
所以我们这样构造是完全没有问题滴。
你问我这个构造怎么想出来的？那我就不知道了，反正能用，还很好用，唯一的限制就是模数互素$。
如果不互素就要看下面要讲的扩展中国剩余定理了。
扩展中国剩余定理：
（求解模数不互质情况下的同余方程组）
普通中国剩余定理要求所有的 \(m_i\) 互素，那么如果不互素呢？怎么求解同余方程组？
这种情况可以考虑两两合并，假设合并如下两个方程：
那么得到：
我们需要求出一个最小的 \(x\) 使它满足：
那么 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的值要仅可能的小，于是我们又扩展欧几里得算法求出 \(x_1\) 的最小整数解，将它代回 \(a_1 + m_1 x_1\) ，得到 \(x\) 的一个特解 \(x^{,}\) ，当然也是最小整数解。
所以 \(x\) 的通解一定是 \(x^{,}\) 加上 \(lcm(m_1,m_2) \times k\) 这样才能保证 \(x\) 模 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的余数是 \(a_1\) 和 \(a_2\) 。由此，我们把这个 \(x^{,}\) 当做新的方程的余数，把 \(lcm(m_1,m_2) \times k\) 当做新的方程的模数。（这一段是关键）
合并完成：
大数翻倍法
复杂度有保证，码量短小精湛！
详见这篇博文
想学中国剩余定理很久了，第一次听说是在夏令营的时候，看到同宿舍某大佬的课程表上有这个名词，感觉挺高大上的，前几天忙着期中考咕咕咕了，如今终于有机会更一篇关于它的笔记了，开心>-<!
