斐蜀定理
前置芝士
小学数学
写在前面
Q：啥叫飞鼠定理啊？
A：是斐蜀定理（捂脸
在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理--360百科
Q：说的啥啊？
1、对于正整数 \(a, b\) 存在整数 \(x, y\) 使得 \(\gcd(a, b) = ax +by\)
2、整数 \(a, b\) 互质的充要条件是存在整数 \(x, y\) 使得 \(ax + by = 1\)
简单来说，我们设 \(d = \gcd(a, b)\)，那么对于方程 \(ax + by = d\) ，一定存在一组整数解。并且对于方程 \(ax + by = z\)，如果满足 \(d \mid z\)，那么方程一定有整数解，否则无整数解。
（注：这里 \(d \mid z\) 的意思是 \(z \bmod d = 0\)）
对于第一个推论的证明：
已知非零整数 \(a, b\)
记集合 \(S = \{ ax + by \mid x, y \in \mathbb{Z} 且 ax + by > 0\}\)
记整数 \(d = ax_0 + by_0\)
我们只要证明 \(d = \gcd(a, b)\) 就证明了斐蜀定理，
设 \(a = dq + r\), 其中 \(q, r\) 是 \(a\) 模 \(d\) 的商和余数，则有
因为我们用到的都是整数，所以不难看出 \(1 - x_0q\) 和 \(y_0q\) 也都是整数
所以 \(r \in S \cup \{ 0 \}\) ，（为啥要并上 \(0\) 尼？因为 \(r\) 表示余数，余数可以为 \(0\) 嘛）
我们又知道 \(0 \leqslant r < d\)，而 \(d\) 又是 \(S\) 中的最小元素，所以 \(r = 0\)
这意味着 \(d \mid a\)， 同理 \(d \mid b\)，又因为 \(\gcd(a, b) \mid d\) ，所以 \(d = \gcd(a, b)\)
证毕。
另外的，由集合 \(S\) 可以看出 \(x, y\) 的解不是唯一的，有无穷组系数 \((x, y)\) 都能满足 \(\gcd(a, b) = ax + by\).并且，如果 \((x, y)\) 是一组系数，那么所有系数可以表示为
对于第二个推论的证明：
再抄一遍
整数 \(a, b\) 互质的充要条件是存在整数 \(x, y\) 使得 \(ax + by = 1\)
利用反证法，
设 \(a, b\) 不互质，那么 \(a, b\) 可以表示成 \(a = q \times \gcd(a, b), b = p \times \gcd(a, b)\)，带入上面的式子，得到：
两边同时除以 \(\gcd(a,b)\) 得到：
显然，如果 \(a, b\) 不互质，那么式子右边已经变成了一个小数，那么方程一定不存在整数解。所以只有当 \(a, b\) 互质时，该方程才有整数解.
证毕。
顺便我们可以得到：
对于方程 \(ax + by = z\), 只有满足 \(\gcd(a, b) \mid z\) ，方程才有整数解
证明：
设 \(d = \gcd(a, b), z = d \times q\)
对于方程 \(ax + by = d\) , 我们设有一组解为 \(x_0, y_0\), 那么就有：
两边同时乘 \(q\) 得：
\(\because z = d \times q\)
\(\therefore\) 方程 \(ax + by = z\) ，一定存在一组整数解为 \(x = x_0 \times q, y = y_0 \times q\) , 证毕
按照同样的思路可以扩展到 \(n\) 元不定方程上
对于不定方程 \(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + … +a_nx_n = 1\)，只有所有系数的 \(\gcd\) 为 \(1\) 时，方程才有整数解。
顺便得到
所有系数 \(a_1, a_2, a_3 ,···,a_n\) 的最大公约数为 \(1\) 的充要条件是：满足不定方程 \(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + … +a_nx_n = 1\)
