Bzoj3233 [Ahoi2013]找硬币

 

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Description

小蛇是金融部部长。最近她决定制造一系列新的货币。假设她要制造的货币的面值为x1,x2,x3… 那么x1必须为1，xb必须为xa的正整数倍（b>a）。例如 1，5，125，250就是一组合法的硬币序列，而1，5，100，125就不是。不知从哪一天开始，可爱的蛇爱上了一种萌物——兔纸！从此，小蛇便走上了遇上兔纸娃娃就买的不归路。某天，小蛇看到了N只可爱的兔纸，假设这N 只兔纸的价钱分别是a1,a2…aN。现在小蛇想知道，在哪一组合法的硬币序列下，买这N只兔纸所需要的硬币数最少。买兔纸时不能找零。

 

Input

第一行，一个整数N，表示兔纸的个数

第二行，N个用空格隔开的整数，分别为N只兔纸的价钱

 

Output

一行，一个整数，表示最少付的钱币数。

 

Sample Input

2
25 102

Sample Output

4

HINT

样例解释：共有两只兔纸，价钱分别为25和102。现在小蛇构造1，25，100这样一组硬币序列，那么付第一只兔纸只需要一个面值为25的硬币，第二只兔纸需要一个面值为100的硬币和两个面值为1的硬币，总共两只兔纸需要付4个硬币。这也是所有方案中最少所需要付的硬币数。

   1<=N<=50, 1<=ai<=100,000

Source

 

动态规划 刷表DP 脑洞题

题目令人十分迷茫，看了题解以后忍不住想大呼“还有这种操作”

会这么想的绝对只有我一个人

 

设$ f[i] $表示把“用面值为i的硬币付不掉的那部分”干掉 （也就是清除“边角料”）的最小花费。

设$ g[i] $表示最多可以使用的面值为i的硬币的数量（因为硬币面值都是倍数关系，所以能用大的肯定先用大的）。

显然这两个是互补的。

那么显然 ans = min{ f[i] + g[i] }

对于每个i，枚举i的质数倍，有转移:

　　$f[ prime[j] * i ] = min ( f[ prime[j] * i , f[i] + calc(i , k) )$

这个calc(i,k)是将用k不能解决的部分用i解决所需的硬币i的个数。具体统计方式见代码。

注意除法是整除。

那么问题来了，用i去支付的时候，i不能解决的部分是不是因为整除而漏算了呢？并没有，这部分被统计在f[i]里了

会在这个地方转不过弯的绝对只有我一个人

预处理一下质数，就可以愉快地解决了

因为看着和线性筛有些像，于是试着加了57行那个break，然而是错的2333

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=100010;
const int mxn=60;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,a[mxn];
int mx;
int pri[N],cnt=0;
bool vis[N];
int f[N];
void init(){
    for(int i=2;i<=mx;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt && pri[j]*i<=mx;i++){
            vis[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
    return;
}
int calc(int x,int mod){
    int res=0;
    if(!mod){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            res+=a[i]/x;
        return res;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        res+=a[i]%mod/x;
    return res;
}
int main(){
    int i,j,k;
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),mx=max(mx,a[i]);
    init();
    sort(a+1,a+n+1);
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[1]=0;
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(i=1;i<=mx;i++){
        ans=min(ans,f[i]+calc(i,0));
        for(j=1;j<=cnt && ((k=pri[j]*i)<=mx);j++){
            f[k]=min(f[k],f[i]+calc(i,k));
//            printf("i:%d k:%d fi:%d fk:%d\n",i,k,f[i],f[k]);
//            if(i%pri[j]==0)break; //WA
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}