Bzoj4161 Shlw loves matrixI

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Description

给定数列 {hn}前k项，其后每一项满足

hn = a1*h(n-1) + a2*h(n-2) + ... + ak*h(n-k)

其中 a1,a2...ak 为给定数列。请计算 h(n)，并将结果对 1000000007 取模输出。

Input

第 1 行包含两个整数 n,k

第 2 行包含 k 个整数 a1,a2...ak

第 3 行包含 k 个整数 h1,h2...hk

Output

一行一个整数 hn mod 1000000007

Sample Input

6 4
3 -1 0 4
-2 3 1 5

Sample Output

73

HINT

对于 100% 数据，满足 n <= 10^9;k <= 2000; abs(hi)<=10^9; abs(ai)<=10^9

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By submittersubmitter

 

数学问题 特征多项式 递推

直接矩阵乘法递推的话，$O(k^3 logn)$的复杂度十分难受

我们可以找到递推矩阵的特征多项式，就可以用 $O(k^2)$的卷积代替$O(k^3)$的矩乘，这题就可以过了。数据再丧心病狂的话，还可以用FFT优化卷积。

博主傻傻不会求特征多项式啊……依稀记得在哪里听到过，齐次递推式的递推矩阵的特征多项式和递推式形式一样？真伪不明，反正这题里是一样的。

设矩阵为M，则 $ M^i = \sum_{j=1}^{k} a_j * M^{i-j} $

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int mxn=4011;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,K;
int A[mxn],h[mxn];
struct Mat{
    int x[mxn];
    void init(){memset(x,0,sizeof x);return;}
    Mat operator * (const Mat &b){
        Mat res;
        for(int i=K<<1;i;i--)res.x[i]=0;
        for(int i=1;i<=K;i++)
            for(int j=1;j<=K;j++)
                res.x[i+j-1]=((LL)res.x[i+j-1]+(LL)x[i]*b.x[j])%mod;
        for(int i=K<<1;i>K;i--)
            for(int j=1;j<=K;j++)
                res.x[i-j]=((LL)res.x[i-j]+(LL)res.x[i]*A[j])%mod;
        return res;
    }
}bas,res;
int main(){
    int i,j;
    n=read();K=read();
    for(i=1;i<=K;i++)A[i]=read(),A[i]=(A[i]<0)?A[i]+mod:A[i];
    for(i=1;i<=K;i++)h[i]=read(),h[i]=(h[i]<0)?h[i]+mod:h[i];
    bas.x[2]=1;
    res.x[1]=1;
    for(i=n;i;i>>=1){
        if(i&1)res=res*bas;
        bas=bas*bas;
    }
    int ans=0;
    for(i=1;i<=K;i++){
        ans=((LL)ans+(LL)res.x[i]*h[i])%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}