洛谷P3764 签到题 III

题目背景

pj组选手zzq近日学会了求最大公约数的辗转相除法。

题目描述

类比辗转相除法，zzq定义了一个奇怪的函数：

typedef long long ll;
ll f(ll a,ll b)
{
    if(a==b) return 0;
    if(a>b) return f(a-b,b+b)+1;
    else return f(a+a,b-a)+1;
}

zzq定义完这个函数兴高采烈，随便输入了两个数，打算计算f值，发现这个函数死循环了...于是zzq定义这个函数递归死循环的情况下f值为0。

现在zzq输入了一个数n，想要求出。

输入输出格式

输入格式：

 

一行两个数n。

 

输出格式：

 

一行一个数。

 

输入输出样例

输入样例#1：

100

输出样例#1：

1124

输入样例#2：

2000

输出样例#2：

68204

说明

对于10%的数据，。

对于40%的数据，。

对于70%的数据，。

对于100%的数据，。

 

数学问题 结论题 分块

似乎很有趣。

要证一个奇奇怪怪的结论：

当且仅当 “ $ a/(gcd(a,b)+b/gcd(a,b)=2^m $ ”时， $ f(a,b) $ 值为 $ m-1 $ ，否则 $ f(a,b)=0 $

一种简单的证明如下：

打表观察，发现上述结论显然成立，得证

另一种并不严谨的证明如下：

只考虑gcd(a,b)=1的情况

证明： $ a+b=2^m $时，$ f(a,b)=m-1 $

当 $a=1$ $b=1$ $ a+b=2^1 $时，显然有$ f(a,b)=1-1=0 $

否则，对于任意 $ a+b=2^m $，假设a<b，那么 $ f(a,b)=f(a+a,b-a)+1 $

由于a+b是2的倍数且a,b互质且a<b，那么b-a肯定是偶数，所以 $ f(a+a,b-a)=f(a*2,b-a)=f(a,(b-a)/2) $

此时$ a+(b-a)/2 = 2_{ }^{m-1} $ ，递归计算可得 $ f(a,b)=m-1 $ 得证。

 

其他情况乱搞一下发现会死循环

 

然后愉快（并不）地分块求值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define LL long long
using namespace std;
const int mxn=100010;
LL read(){
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10-'0'+ch;ch=getchar();}
    return x*f;
}
LL n,ans=0;
int main(){
    n=read();
    int lg=0;
    for(LL i=2;i;i<<=1){
        for(LL x,j=(i>>1)+1;j<i && j<=n;j=x+2){
            x=n/(n/j);
            x=min(x,min(n,i-1));
            if(!(x&1))x--;
            ans+=lg*(n/j)*(((x-j)>>1)+1);
        }
        if(i>=n)break;
        ++lg;
    }
    ans<<=1;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}