数论篇 卷三 各种定理和公式

存一下各种（并不）奇怪的定理概念和公式

 

碰到的将来可能会用到也可能不会用到的神奇の结论 by totziens

http://blog.leanote.com/post/totziens/%E9%81%87%E5%88%B0%E7%9A%84%E6%9C%89%E7%BB%93%E8%AE%BA

 

中国剩余定理/扩展中国剩余定理

lucas定理/扩展lucas定理

↑ 见 数论篇 卷一 未知的世界

 

包含n个点的有标号简单图的数量（不一定连通）

　　$ g[n]=2^{C_{n}^{2}} $ （每两个点之间都可能有边，总共有$C_{n}^{2}$条可能的边，每条边都有存在与否两种状态）。

　　以1所在的连通块为主体讨论，可以容斥计算出包含n个点的有标号简单连通图的数量。

　　包含n个点的度数均为偶数的图（不一定连通）的数量：  $ g[n]=2^{C_{n-1}^{2}} $  （除1号点以外的点自由连边形成图，奇度数点向1连边变成偶度数）(奇度数的点必定只有偶数个)

　　同样可以用容斥算出连通图的数量

 

库默尔定理(kummer定理）

　　设m，n为正整数，p为素数，则$ C_{m+n}^{m} $含p的幂次等于m+n在p进制下的进位次数。

　　51nod 1245 http://www.cnblogs.com/SilverNebula/p/7045223.html

 

错排公式

　　$f[0]=0 , f[1]=0 , f[2]=1 $ 此后 $ f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2]) $

 

斯特林公式

　　　　用来近似算n的阶乘。这个“近似”就特别迷，除非专门考公式，不然应该用不上的吧？(flag)

 

 

广义二项式定理

　　普通的二项式定理：$ (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C_{n}^{r}*a^r * b^{n-r}$

 

　　当n为负数的时候，有：

　　　　$ (1+x)^n = \sum_{i=0}^{\infty} C_{-n}^{i} * x^i = \sum_{i=0}^{\infty} C_{n+i-1}^{i} x^i$

　　(还可以推广到实数)

 

裴蜀定理（贝祖定理）

　　若a,b是整数,且$ gcd(a,b)=d $，那么对于任意的整数x和y，ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使$ ax+by=d$成立。

　　推论1：a,b互质的充要条件是存在x,y使得$ ax+by=1 $

 

 

欧拉定理(オラー！)

　　留坑

 

 

伯努利数

　　傻傻不知道有什么用……已知可以用来求自然数幂的和

　　根据这个性质：

　　$ \sum_{k=0}^{n} C_{n+1}^{k}B_k =0 $

　　可以得到：

　　$ B_n=-\sum_{k=0}^{n-1} C_{n+1}^{k}*B_k$

　　然后可以$O(n^2)$递推出伯努利数。如果需要推更多的项，可能需要FFT求多项式逆元

　　根据这个公式：

　　$ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{k+1}* \sum_{i=1}^{k+1} (C_{k+1}^{k+1-i} $

　　可以$O(n^2)$递推出来