Bzoj3771 Triple

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Description

我们讲一个悲伤的故事。

从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。

这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫一看：“是啊是啊！”

水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”

水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。

于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”

水神看着他，哈哈大笑道：

“你看看你现在的样子，真是丑陋！”

之后就消失了。

 

樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。

于是他准备回家换一把斧头。

回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。

水神拿着的的确是他的斧头。

但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。

换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。

 

樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。

他想统计他的损失。

樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。

他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。

注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

 

 

Input

第一行是整数N，表示有N把斧头。

接下来n行升序输入N个数字Ai，表示每把斧头的价值。

 

 

Output

若干行，按升序对于所有可能的总损失输出一行x y，x为损失值，y为方案数。

 

 

Sample Input

4
4
5
6
7

Sample Output

4 1
5 1
6 1
7 1
9 1
10 1
11 2
12 1
13 1
15 1
16 1
17 1
18 1
样例解释
11有两种方案是4+7和5+6，其他损失值都有唯一方案，例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.

HINT

所有数据满足：Ai<=40000

Source

 

数学问题 生成函数 FFT 容斥

题面挺带感的233

设x[]为只拿一把斧头的方案构建的指数生成函数，y[]为拿了相同两把斧头的方案构建的指数生成函数，z[]为拿了相同三把斧头的方案构建的指数生成函数。

那么可以容斥计算：

　　拿一把的方案数：$O(n)$直接统计

　　拿两把的方案数：$ans=(x*x-y)/2$

　　拿三把的方案数: $ans= (x*x*x-3*x*y+2*z)/6 $

 

/*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const double pi=acos(-1.0);
const int mxn=160010;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
struct  com{
    double x,y;
    com operator + (com b){return (com){x+b.x,y+b.y};}
    com operator - (com b){return (com){x-b.x,y-b.y};}
    com operator * (com b){return (com){x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x};}
    com operator / (double v){return (com){x/v,y/v};}
}a[mxn],b[mxn],c[mxn];
int N,l,rev[mxn];
void FFT(com *a,int flag){
    for(int i=0;i<N;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<N;i<<=1){
        com wn=(com){cos(pi/i),flag*sin(pi/i)};
        for(int j=0;j<N;j+=i<<1){
            com w=(com){1,0};
            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn){
                com x=a[k+j],y=w*a[k+j+i];
                a[k+j]=x+y;
                a[k+j+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if(flag==-1)for(int i=0;i<N;i++) a[i].x/=N;
    return;
}
int n,w[mxn];
LL ans[mxn],d[mxn];
int main(){
    int i,j,mx=0;
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++)w[i]=read(),mx=max(mx,w[i]);
    int m=mx*3;
    for(N=1;N<m;N<<=1)l++;
    for(i=0;i<=N;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for(i=1;i<=n;i++){++ans[w[i]];}//只拿一把 
    //
    for(i=1;i<=n;i++)a[w[i]].x+=1;
    FFT(a,1);
    for(i=0;i<=N;i++)
        a[i]=a[i]*a[i];
    FFT(a,-1);
    for(i=0;i<=N;i++)d[i]+=(int)(a[i].x+0.3);
    for(i=1;i<=n;i++)d[w[i]+w[i]]--;
    for(i=0;i<=N;i++)ans[i]+=d[i]/2;
    //拿两把 
    memset(a,0,sizeof a);
    for(i=1;i<=n;i++)a[w[i]].x++;
    FFT(a,1);
    for(i=0;i<=N;i++) a[i]=a[i]*a[i]*a[i];
    FFT(a,-1);
    for(i=0;i<=N;i++)d[i]=(int)(a[i].x+0.3);
    memset(a,0,sizeof a);
    for(i=1;i<=n;i++){
        a[w[i]].x+=1;
        b[w[i]+w[i]].x+=1;
    }
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for(i=0;i<=N;i++)c[i]=a[i]*b[i];
    FFT(c,-1);
    for(i=0;i<=N;i++)d[i]-=((int)(c[i].x+0.3))*3;
    for(i=1;i<=n;i++){d[w[i]*3]+=2;}
    for(i=0;i<=N;i++)ans[i]+=d[i]/6;
    //拿三把 
    for(i=0;i<=N;i++)
        if(ans[i])
            printf("%d %lld\n",i,ans[i]);
    return 0;
}