Bzoj4403 序列统计

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Description

给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

Input

输入第一行包含一个整数T，表示数据组数。第2到第T+1行每行包含三个整数N、L和R，N、L和R的意义如题所述。

Output

输出包含T行，每行有一个数字，表示你所求出的答案对106+3取模的结果。

Sample Input

21 4 52 4 5

Sample Output

25

HINT

 

提示

【样例说明】满足条件的2个序列为[4]和[5]。

【数据规模和约定】对于100%的数据，1≤N,L,R≤10^9，1≤T≤100，输入数据保证L≤R。

 

Source

By yts1999

 

 

数学问题 组合数 lucas定理

 

设M=R-L+1，即可用的数值的数量

对于任意一个序列，将第i个数+i，那么原来的问题就转化为了长度为N(N=1 to n)的在[l+1,r+N]区间以内的单调递增的序列的个数。

对于每个确定的N，答案为

$ C_{N+M-1}^{N}  = C_{N+M-1}^{M-1} $

所以长度为1到N之间，满足要求的序列个数为

$\sum C_{N+M-1}^{N} = \sum C_{N+M-1}^{M-1}$

尝试化简这个序列：

根据组合数的递推性质$ C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1) $

$ ans=\sum_{i=1}^{N} C_{i+M-1}^{M-1}\textrm +C_{M}^{M}-1 $

$ ans=\sum_{i=2}^{N} C_{i+M-1}^{M-1}\textrm +C_{M+1}^{M}-1 $

$ ans=\sum_{i=3}^{N} C_{i+M-1}^{M-1}\textrm +C_{M+2}^{M}-1 $

以此类推

$ ans=C_{M+N}^{M}-1 $

 

得到答案就是C(n+m,m)-1，用lucas定理算出来即可

 

蜜汁WA2次之后直接把int全开成LL，就蜜汁过了

 

 

/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e6+3;
const int mxn=1000010;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
LL pw[mxn],inv[mxn];
void init(){
    pw[0]=1;inv[1]=1;
    pw[1]=1;inv[0]=1;
    for(int i=2;i<mxn;i++){
        pw[i]=(LL)pw[i-1]*i%mod;
        inv[i]=((-(mod/i)*(LL)inv[mod%i])%mod+mod)%mod;
    }
    return;
}
LL calc(int n,int m){
    if(n<m)return 0;
    int res=(LL)pw[n]*inv[pw[m]]%mod*inv[pw[n-m]]%mod;
    return res;
}
LL lucas(LL n,LL m){
    if(!m)return 1;
    return calc(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
int T,n,m,L,R;
int main(){
    int i,j;
    T=read();
    init();
    while(T--){
        n=read();L=read();R=read();
        m=R-L+1;
        int ans=lucas((LL)n+m,m)-1;
        if(ans<0)ans+=mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}