CodeVs1515 跳

题目描述 Description

邪教喜欢在各种各样空间内跳。

现在，邪教来到了一个二维平面。在这个平面内，如果邪教当前跳到了(x,y)，那么他下一步可以选择跳到以下4个点：(x-1,y), (x+1,y), (x,y-1), (x,y+1)。

而每当邪教到达一个点，他需要耗费一些体力，假设到达(x,y)需要耗费的体力用C(x,y)表示。

对于C(x,y)，有以下几个性质：

1、若x=0或者y=0，则C(x,y)=1。

2、若x>0且y>0，则C(x,y)=C(x,y-1)+C(x-1,y)。

3、若x<0且y<0，则C(x,y)=无穷大。

现在，邪教想知道从(0,0)出发到(N,M)，最少花费多少体力（到达(0,0)点花费的体力也需要被算入）。

由于答案可能很大，只需要输出答案对10^9+7取模的结果。

输入描述 Input Description

读入两个整数N，M，表示邪教想到达的点。

输出描述 Output Description

输出仅一个整数，表示邪教需要花费的最小体力对10^9+7取模的结果。

样例输入 Sample Input

1 2

样例输出 Sample Output

6

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于10%的数据，满足N, M<=20；

对于30%的数据，满足N, M<=100；

对于60%的数据，满足min(N,M)<=100；

对于100%的数据，满足0<=N, M<=10^12，N*M<=10^12。

 

 

数学问题 组合数 lucas定理

看到那个C的表达式就觉得和组合数有关系，于是欢快地打了个小表，发现——和组合数没多大关系

以左上角为顶点，每个位置的值以杨辉三角形式增加。根据这一性质可以想出一个贪心方法：只走直线，先贴着边走到目标点所在的行/列，然后直走过去。

于是ans=max(n,m)+ Σ C(n+m,d)  (1<=d<=min(n,m))  ← C是组合数

题解说后面那个ΣC 就等于C(n+m+1,min(n,m))

看到别的题解写了lucas定理，自己想了想觉得可以暴力推过去。N*M<=10^12，根据C(n,m)=c(n,n-m)的性质可知公式求组合数最多循环10^6次，可以接受。

确实可以推过去，然而WA了几个点，原因是这样算，乘数爆longlong了。

又加了个快速乘就过了。

下附lucas定理写法：

/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
LL ksmul(LL a,LL b){
    a%=mod;b%=mod;LL res=0;
    while(b){
        if(b&1){res+=a;if(res>mod)res-=mod;}
        a=(a<<1)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
LL ksm(LL a,LL k){
    LL res=1;
    while(k){
        if(k&1)res=ksmul(res,a);
        a=ksmul(a,a);
        k>>=1;
    }
    return res;
}
LL solve(LL n,LL m){
    m=max(m,n-m);
    LL res=1,inv=1;
    for(LL i=m+1;i<=n;i++){
        res=ksmul(res,i);
        inv=ksmul(inv,i-m);
//        printf("res:%lld inv:%lld\n",res,inv);
    }
    inv=ksm(inv,mod-2)%mod;
    res=ksmul(res,inv);
    return res;
}
LL n,m,ans=0;
int main(){
    int i,j;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n<m)swap(n,m);
    ans+=n%mod;
    (ans+=solve(n+m+1,m))%=mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

lucas还是快一点

/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
LL ksm(LL a,LL k){
    LL res=1;
    while(k){
        if(k&1)res=(res*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
LL clc(LL n,LL m){
    if(n<m)return 0;
    m=min(m,n-m);
    LL res=1,inv=1;
    for(LL i=1;i<=m;i++){
        res=res*(n-i+1)%mod;
        inv=inv*i%mod;
    }
    res=res*(ksm(inv,mod-2))%mod;
    return res;
}
LL lucas(LL a,LL b){
    if(!b)return 1;
    return clc(a%mod,b%mod)*(lucas(a/mod,b/mod)%mod)%mod;
}
LL n,m,ans=0;
int main(){
    int i,j;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n<m)swap(n,m);
    ans+=n%mod;
    (ans+=lucas(n+m+1,m))%=mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}