洛谷P1595 信封问题

题目描述

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

输入输出格式

输入格式：

 

一个信封数n

 

输出格式：

 

一个整数，代表有多少种情况。

 

输入输出样例

输入样例#1：

样例1：2

样例2：3

输出样例#1：

样例1：1

样例2：2

 

传说中的错排问题。

解法一：容斥。

设共有n个位置。所有的排列情况共有n!种，某个位置x排对的情况有(n-1)!种，总数为C[n][1](←组合数)*(n-1)!种。再用容斥原理把多减的加回来，以此类推。

得到： ans= n!-C[n][1]*(n-1)!+C[n][2]*(n-2)!-C[n][3]*(n-3)!......C[n][n]*(n-n)! 

/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int mxn=210;
int n;
int c[mxn][mxn];
LL f[mxn];
void init(){
    int i,j;f[0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]*i;
    for(i=0;i<=n;i++)c[i][0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
     for(j=1;j<=n;j++)
         c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
    return;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    init();
    int i,j;
    LL ans=f[n];
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(i&1)ans-=f[n-i]*c[n][i];
        else ans+=f[n-i]*c[n][i];
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 

 

解法二：递推

错排问题递推公式：

　　f[0]=0;f[1]=0;f[2]=1 ,此后 $ f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2]) $

 

/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int mxn=210;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int f[mxn];
int n;
int main(){
    cin>>n;
    f[0]=f[1]=0;
    f[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
    }
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}