Bzoj2705 Longge的问题

 

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64bit IO Format: %lld & %llu

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

Hint

 

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

 

 

Source

SDOI2012

 

 

求Σgcd(i,n) (1<=i<=n)

暴力枚举当然可行，但是TLE不可避。

考虑转化问题，从1到n的范围内，有许多个i的gcd(i,n)等于同一个n的因数。我们可以枚举n的每一个因数k，累计“以该数k为解的gcd(i,n)的个数s(k)"乘以该数，就能得到答案。

若有gcd(n,m)=k，那么n和m同除公约数k后，可以得到gcd(n/k,m/k)=1。由前式可知(m/k)与(n/k)互质。满足条件的(m/k)个数，也就是s(k)就等于phi(n/k) ←欧拉函数！

 

解1：直接套模板。算法无误，但是因为题目数据大，保存函数后再处理会RE（原因目测是存储用数组开不了那么大）

 

/*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=100000;
long long n;
int m[maxn],phi[maxn],p[maxn],pt;
int euler()
{
    phi[1]=1;
    int N=maxn;
    int k;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!m[i])//i是素数
            p[pt++]=m[i]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=0;j<pt&&(k=p[j]*i)<N;j++)
        {
            m[k]=p[j];
            if(m[i]==p[j])//为了保证以后的数不被再筛，要break
            {
                phi[k]=phi[i]*p[j];
/*这里的phi[k]与phi[i]后面的∏(p[i]-1)/p[i]都一样（m[i]==p[j]）只差一个p[j]，就可以保证∏(p[i]-1)/p[i]前面也一样了*/
                break;    
            }
            else
                phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);//积性函数性质，f(i*k)=f(i)*f(k)
        }
    }
}
int main(){
    euler();
    scanf("%lld",&n);
    long long m=sqrt(n);
    int i,j;
    long long ans=0;
    for(i=1;i<=m;i++){
        if(n%i==0){
            ans+=phi[n/i]*i;
            ans+=(n/i)*phi[i];
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

 

 

 

解2：多花点时间，每次都算一遍。并不会TLE，神奇

代码是从hzw学长那学到的，精简得很。

/*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mxn=100000;
long long n,m;
long long phi(long long x){
    long long a=x;
    for(long long i=2;i<=m;i++){
        if(x%i==0){//找到因数 
            a=a/i*(i-1);//基本计算公式 a*=((i-1)/i) 
            while(x%i==0)x/=i;//除去所有相同因数 
        }
    }
    if(x>1)a=a/x*(x-1);//处理最后一个大因数 
    return a;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    m=sqrt(n);
    int i,j;
    long long ans=0;
    for(i=1;i<=m;i++){
        if(n%i==0){
            ans+=phi(n/i)*i;
            ans+=(n/i)*phi(i);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}