杭电多校2020第7场-E Expectation

期望yy题

有一种做法：枚举每个球滚到哪个坑里，算出其概率，再乘上球到这个坑的距离，把结果相加。

但是你会发现，这样子很难处理，而且有许许多多复杂的情况。

我们换一个角度：对于每一个\(i\)和\(i+1\)之间的线段，我们算其被经过的期望次数。

手玩一会儿不难发现有如下结论：

对于一条线段，如果其左边为洞，右边为球，那么肯定是右边的球先经过这条线段，再左边的球经过，再右边的经过……如此反复。

如果其右边为洞，左边为球，那么肯定是左边的球先经过，再右边的，再左边的……如此反复。

然后，还有一个这样显而易见的结论：任何时候任意两个球之间都存在洞

于是，不难设计一个dp。

记\(dp[l][r][0/1]\)表示左边有\(l\)个未进洞的球，右边有\(r\)个未进洞的球，此时应该是右边/左边的球经过这条线段，这条线段被经过的期望次数。

至于转移，有一下三种情况（以第3维为0为例）：

1.让一个左边的球进洞，概率为\(\frac{l}{l+r}\)，此时选的球不可能经过此线段，因此这一部分为\(\frac{l}{l+r}\cdot dp[l-1][r][0]\)

2.让一个右边的球进洞，并且经过此线段。不难发现，右边仅有最靠近这个洞的球并且方向选对才可以进洞，此时概率为\(\frac{r}{l+r}\cdot \frac{1}{r}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2(l+r)}\)，那么这一部分为\(\frac{1}{2(l+r)}\cdot \left(dp[l][r-1][1]+1\right)\)

3.让一个右边的球进洞，并且不经过此线段。此时概率为\(\frac{r}{l+r}-\frac{1}{2(l+r)}=\frac{r-\frac{1}{2}}{l+r}\)，这一部分为\(\frac{r-\frac{1}{2}}{l+r}\cdot dp[l][r-1][0]\)

所以，

\[dp[l][r][0]=\frac{l}{l+r}\cdot dp[l-1][r][0]+\frac{1}{2(l+r)}\cdot \left(dp[l][r-1][1]+1\right)+\frac{r-\frac{1}{2}}{l+r}\cdot dp[l][r-1][0] \]

第3维为1同理。

最后，答案即为

\[Ans=\sum_{i=1}^{n}(x_{2i}-x_{2i-1})\cdot dp[i-1][n-i+1][0]+(x_{2i+1}-x_{2i})\cdot dp[i][n-i][1] \]