「联合省选2020」组合数问题
多项式题
首先，我们发现这是一个关于\(k\)的\(m\)次多项式和\(\binom{n}{k}\)相乘，而下降幂与组合数相乘往往会发生神奇的事情，于是考虑下降幂。（不会下降幂的可以先去学学）
那么原多项式变成：
\[f(k)=\sum_{i=0}^{m}b_ik^{\underline{i}}
\]
其中\(b_i\)系数可以预处理得。
接下来就是愉悦的推式子时间了。（先不考虑mod p）
\[Ans=\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{m}b_i\cdot k^{\underline{i}}\cdot x^k\cdot \binom{n}{k}\\
=\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^mb_i\cdot n^{\underline{i}}\cdot x^k\cdot \binom{n-i}{k-i}\\
=\sum_{i=0}^{m}b_i\cdot n^{\underline{i}}\sum_{k=i}^{n}x^k\cdot \binom{n-i}{k-i}注意当k<i时后面的式子没有意义\\
=\sum_{i=0}^{m}b_i\cdot n^{\underline{i}}\cdot x^i\sum_{k=0}^{n-i}x^{k}\cdot \binom{n-i}{k}我们改成枚举k-i\\
=\sum_{i=0}^{m}b_i\cdot n^{\underline{i}}\cdot x^i\cdot (x+1)^{n-i}
\]
此题解决。复杂度：\(O(m^2)\)
