UR#19 通用评测号

网上看到的一种写法

原博客链接（后面写法会有点不一样）

原问题可以变成：

有n个容量无限大的燃料箱，每次随便放（达到A了仍然可以继续放），当所有燃料都达到B时结束。求燃料箱所放燃料\(\ge A\)的期望数量。

正确性：

首先，期望只与终态有关。那么，对于一个燃料\(\ge A\)的箱子，我再往里放一个的话，并不会改变其他燃料\(<A\)的状态。因此，此次操作并不会对状态产生影响。那么这个转化是正确的。

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根据期望的线性性质，每个燃料箱的贡献为1，那么就是其\(\ge A\)的概率。而每个燃料箱是等价的，我们把概率\(× n\)就是答案了。

考虑燃料箱有贡献的情形：其刚好达到\(A\)，并且其余燃料箱存在至少一个燃料小于\(B\)。

显然，我们算出其余都\(\ge B\)的概率，然后拿1减去就好了。

可以发现，如果一个燃料箱已经\(\ge B\)了，再往里放一个并不会改变其他燃料\(<B\)的状态。所以，当一个燃料箱达到B时，我们就假定它损坏了，不能往里面加燃料了。

考虑dp，记\(dp[i][j]\)表示此时已有\(i\)个燃料箱达到\(B\)，总共加入的次数为\(j\)的概率。

转移：

\[dp[i][j]=dp[i][j]+\frac{dp[i][j-1]}{n-i}\\ dp[i][j]=dp[i][j]+\frac{dp[i-1][j-1]}{n-i+1}\cdot C_{j-1-(i-1)\cdot B}^{B-1} ,i\ge 1 \]

那么\((1-(n-1)!\cdot dp[n-1][(n-1)\cdot B+A-1])\cdot n\)就是答案了。

对于dp部分的一些解释：

首先，第一条转移方程，注意的是，我们并不是真的的往燃料箱里塞燃料，而是预留一个塞燃料的操作，由于只能选择一个点，所以概率要除以\(n-i\)。

第二条转移方程，我们把第\(j\)个操作并且在前面\(j-1-(i-1)\cdot B\)个预留操作中选择\(B-1\)个，把其塞满。

至于乘上\((n-1)!\)的话，很显然，我们是按顺序一个一个塞满的。