【JLOI】2016 成绩比较
容斥+计数
一开始还以为是什么玄学dp，没想到居然是一道计数题
我写法是参照这篇题解的。
分3部分讨论：
1.从n-1个人中选k个被碾压的
2.对于未被碾压的n-1-k人，求出其有多少种成绩分布情况（这里我们不关心这些人成绩的具体值，只关心其与B神的大小关系）
3.求出一种合法的成绩分布情况可以有多少种分配成绩的方案数。
显然，总答案就是把这三部分答案相乘。
part1.从n-1个人中选k个被碾压的
方法：无
显然，答案就是\(C(n-1,k)\)。
part2.对于未被碾压的n-1-k人，求出其有多少种成绩分布情况
方法：计数+容斥
对于第i门功课，显然有\(r[i]-1\)个人在B神前面（题面都告诉你了），那么单看这一门功课，显然有\(C(n-1-k,r[i]-1)\)种分布情况。（从n-1-k个人挑出\(r[i]-1\)个，排到B神前面）
所以，我们根据乘法原理，先算出：
但是，你会发现，我们求出来的这个东西代表的是至多有n-1-k个人不被碾压的方案数。
举个例子：
假设此时没有被碾压的有3个人，m=2，r[1]=2，r[2]=3，记3个人的标号为1，2，3。
那么我们显然会统计到
第一门课1比B神高；
第二门课1，2比B神高这种情况。
但是，你会发现：3此时会被B神碾压。
所以，我们要容斥。
令
那我们这部分答案就是\(F(n-1-k)-F(n-2-k)+F(n-3-k)-F(n-4-k)+\cdots\)
复杂度：\(O(nm)\)
代码：
namespace solve2 {
ll F(int x) {
ll res=1;
for(int i=1; i<=m; i++)res=res*C[x][r[i]-1]%MOD;//C是预处理出来的组合数数组
return res;
}
ll work(int n) {//n代表n-k-1
ll ans=0,pos=1;
for(int i=n; i>=1; i--) {
ll res=1LL*C[n][i]*F(i)%MOD;
ans=(ans+pos*res+MOD)%MOD;
pos*=-1;
}
return ans;
}
}
part3.求出一种合法的成绩分布情况可以有多少种分配成绩的方案数
方法：计数+容斥
对于一种暴力的写法，我们可以枚举B神的成绩，那么答案就是（设此时满分为u，排名在B神之上的有a人，B神以下的有b人）：
显然，u非常大，我们没办法暴力枚举。
但同时，你会发现，n很小，最多这有n种不同的成绩。
那么，我们把i从1枚举到n，算出不同成绩数为i的方案数，最后加法原理加一下就好了。
令
也就是：
但是，我们枚举i算出的并不是不同成绩数为i的方案数，而是不同成绩数在[1,i]之间的方案总数。（不懂得手动模拟一下）
那就容斥呗。
我们令\(D(i)\)表示不同成绩数仅为i的方案数，那么就有：
那么这部分答案就是：\(\sum_{i=1}^{i\le n}D(i)\cdot C(u,i)\)。
复杂度：\(O(n^2m)\)
代码：
namespace solve3 {
ll D[1010];
ll G(int x,int a,int b) {
ll res=0;
for(int i=1; i<=x; i++)res=(res+P[i][b]*P[x-i][a]%MOD)%MOD;//P[i][x]表示i^x
return res;
}
ll GG(int u,int a,int b) {
ll res=0,CC=1;
for(int i=1; i<=n; i++) {
CC=CC*(u-i+1)%MOD*inv[i]%MOD;//组合数可递推,inv[i]表示i的模逆元
D[i]=G(i,a,b);
for(int j=1; j<i; j++)D[i]=(D[i]-D[j]*C[i][j]%MOD+MOD)%MOD;
res=(res+D[i]*CC%MOD)%MOD;
}
return res;
}
ll work(int n,int m) {
ll res=1;
for(int i=1; i<=m; i++)res=res*GG(u[i],r[i]-1,n-r[i])%MOD;
return res;
}
}
part4.预处理
没什么好说的，但有一点要强调：
\(P[0][0]=1\)，我就是这里没加调了超级久
void init() {
C[0][0]=1;
for(int i=1; i<=100; i++) {
C[i][0]=1;
for(int j=1; j<=i; j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
}
P[0][0]=1;//注意，这里不要忘了（我就是这部分调了很久）
for(int i=1; i<=100; i++) {
P[i][0]=1;
for(int j=1; j<=100; j++)P[i][j]=1LL*P[i][j-1]*i%MOD;
}
inv[1]=1;
for(int i=2; i<=100; i++)inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
}
