【AtCoder】P137F Folynomial Consruction

数论

由于p是素数，考虑到费马小定理:

\[a^{p-1} \equiv 1 (mod p) \]

而再观察，函数\(f(x)\)要求的值都是0或1
那么，将费马小定理变一下:

\[(x-i)^{p-1} \equiv 1 (mod p)(x \neq i) \]

\[(x-i)^{p-1} \equiv 0 (mod p)(x = i) \]

我们定义一个p-1次多项式\(g(x)=b_0+b_1 \times x+b_2 \times x^2+...+b_{p-1} \times x^{p-1}\)，且该多项式初始值为0
那么，对于一个\(A_i\)，若\(A_i=1\),我们可以在\(g(x)\)中加上\(1-(x-i)^{p-1}\)。因为根据上述式子，我们可以得知在模p下，当且仅当x=i时，\(1-(x-i)^{p-1}\)的值才为1，否则都为0。也就是说，\(1-(x-i)^{p-1}\)只会影响x=i的情况（将其值变为1）。
然后在多项式展开就行了。
代码(注意负数取模):

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n,A[10100],cnt[10010],ans[10100],C[3000][3000];
    void init(){
    	C[0][0]=1;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		C[i][0]=1;
    		for(int j=1;j<=i;j++){
    			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%n;
    		}
    	}
    }
    int main(){
    	scanf("%d",&n);
    	init();
    	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&A[i]);
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		if(A[i]==1)cnt[i]++,ans[0]++;
    	}
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		if(cnt[i]==0)continue;
    		for(int j=0,po=1;j<n;j++){
    			int res=C[n-1][j]*po;
    			res%=n;
    			if(res<0){
    				int tmp=abs(res);
    				res=(n-tmp%n)%n;
    			}
    			else res=res%n;
    			ans[n-1-j]=(ans[n-1-j]+n-res)%n;
    			po=po*(-i);
    			if(po<0){
    				int tmp=abs(po);
    				po=(n-tmp%n)%n;
    			}
    			else po=po%n;
    		}
    	}
    	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",ans[i]);
    	return 0;
    }