埃拉托斯特尼筛法

　　埃拉托斯特尼筛法（希腊语：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英语：sieve of Eratosthenes ），简称埃氏筛，也称素数筛。这是一种简单且历史悠久的筛法，用来找出一定范围内所有的素数。所使用的原理是从2开始，将每个素数的各个倍数，标记成合数。一个素数的各个倍数，是一个差为此素数本身的等差数列。此为这个筛法和试除法不同的关键之处，后者是以素数来测试每个待测数能否被整除。埃拉托斯特尼筛法是列出所有小素数最有效的方法之一，其名字来自于古希腊数学家埃拉托斯特尼，并且被描述在另一位古希腊数学家尼科马库斯所著的《算术入门》中。

 

• 埃氏筛算法与步骤   

 

　　给出要筛数值的范围n，找出以√2 内的素数p0，p1，... ... p_k。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

详细列出算法如下：

1. 列出2以后的所有序列：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2. 标出序列中的第一个质数，也就是2，序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3. 将剩下序列中，划摽2的倍数（用红色标出），序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
4. 如果现在这个序列中最大数小于等于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是质数，否则回到第二步。

• 埃氏筛算法实现

Rust实现：

fn sieve_of_eratosthenes(n: u32)->Vec<u32>{
    let mut primes = Vec::<u32>::new();
    let mut flags = vec![true;n as usize + 1];
    flags[0] = false;
    flags[1] = false;
    let up_bound = ((n as f64).sqrt() + 1.0) as u32;
    for i in 2..=up_bound {
        if flags[i as usize] {
            let mut j = i*i;
            while j <= n {
                flags[j as usize] = false;
                j += i;
            }
        }
    }
    for i in 2..n {
        if flags[i as usize]{
            primes.push(i);
        }
    }
    primes
}

Rust测试代码：

#[test]
fn sieve_of_eratosthenes_test(){
    let primes = sieve_of_eratosthenes(100);
    assert_eq!(primes,vec![2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]);
}