回档|NOIP2012 同余方程

题目描述 Description
求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。
输入输出格式 Input/output
输入格式：
输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。
输出格式：
输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
输入：3 7 

输出：10

题解：这道题我们先要看懂题意。题目的意思就是ax mod b=1，也就是ax-kb=1。考虑扩展的欧几里得定理。显然y可以是一个负值，我们的目的就是求一个最小的正整数x，让ax比b的某个整数倍大1。题目意思即：ax=1+by，也即ax-by=1。

代码：

#include"iostream"
#include"cstdio" 
#include"cstdlib" 
#include"cstring" 
#include"algorithm"
using namespace std;
 
long long a,b,x,y; 
long long extended_gcd(long long  a,long long b,long long &x,long long &y) 
{ 
    if (!b) { x=1; y=0; return a; } 
    else
    {  
            long long ans=extended_gcd(b,a%b,x,y);  
            long long t=x; x=y; y=t-(a/b)*y; 
            return ans; 
    } 
} 

int main() 
{ 
    cin >> a >> b; 
    long long ans = extended_gcd(a, b, x, y); 
      
    x=x%b; 
    while (x<0) x+=b; 
    //我们求出的x是a的整数倍，这个整数倍可以是负值。但要求是最小整数倍
    //所以我们将x加上b，因为加上之后还可以满足要求，即ax mod b=1。
    cout << x << endl;   

    return 0; 
}