回档|欧几里得算法和扩展欧几里得算法

欧几里得算法：用于求两个非负整数a、b的最大公因数（用gcd(a,b)表示）。这里用d表示，假设d一定存在。
证明：由题设知d|a，d|b（d|a代表d能整除a，即a mod d=0）
 

      设a=kb+r，这里k和r都是整数。则r=a mod b。
       我们可以让a=n1d，b=n2d。则r=（n1-k*n2）d
       ∴d|r  ∴gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

扩展的欧几里得算法：
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
　　2，ab!=0 时
　　设 ax1+by1=gcd(a,b);
　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
      这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。