回档|分苹果

背景：今晚在tyvj参加了一下比赛，没想到可耻的跪了。第一题地球人都知道spfa，结果我写了个坐标类DP还得了30分……悲剧。唯一欣慰的是我用组合数学做出了第二题，奠定了我们学校有五个人冲进前六的基础。先发第二题好了。

 

题目：由于tyvj比较坑，比赛的题目竟然没了！只能说下大体意思。给定n个苹果，要求分到3个袋子中。袋子是无序的，问有多少种情况，并对k取模。

 

输入解释：第一行，输入两个整数n,k

输出解释：输出只有一行，即方案总数对k取模的结果。

输入样例： 11 10000

输出样例： 9525

 

题目分析：

       很明显，每个苹果有三种可能，即放在1,2,3号袋子中。于是n个苹果的总数就是3^n。

       我们不妨利用容斥原理对所有情况进行分类讨论：

       （1）当有两个袋子为0时。那么就会有0，0，全部；0，全部，0；全部，0，0三种情况。显然这应算是一种情况。之所以算是三种而不是六种（见下），是 因为当我们把全部苹果放入一个袋子时，显然与放置一个苹果是等价的。那么对于一个苹果，无疑只有一种情况。

       （2）对于剩余情况，我们不妨把三个袋子按苹果多少排序。例如1，2，3。显然这组数字有六种不同的顺序。也就是我们说得普通情况。

        因此我们可以得到公式：ans=(3^n-3)/6+1。事实上运用除法逆元还可以进一步简化，请同学们自行思考。（解释都到这里了，源代码就不用发了吧？事实上是代码被tyvj吞了……）