[bzoj1468][poj1741]Tree_点分治

Tree bzoj-1468 poj-1741

　　　　题目大意：给你一颗n个点的树，求树上所有路径边权和不大于m的路径条数。

　　　　注释：$1\le n\le 4\cdot 10^4$，$1\le m \le 10^9$。

　　　　　　想法：GXZlegend给高一讲点分治，去听了之后的第一道模板题。

　　　　　　　　我们对于一类树上统计问题，除了强大的树形dp之外，我们还有分治。今天听的是点分治：

　　　　　　　　就是说，我们将所有的链关于一个点分划成两类：过这个点的链，和不过这个点的链。这个点就是根节点，我在任意两颗子树中拎出两个点，他们之间的链，就是经过根节点的链。紧接着，我们递归处理这个过程。对于每一个子树，钦定一个根节点，然后求这个子树中经过子树的钦定节点且满足条件的链。那么，这个钦定节点如何选取？显然，树链统计问题可以O(n*n)枚举所有链，那么，我要使得这样的钦定节点可以降低枚举复杂度。于是，我在递归时要尽量使得所有的子树尽量差不多，这样时间复杂度会降下来。故，我们可以钦定树的重心，这样每次递归都求重心，时间复杂度为O(n*logn)。每一次递归的时候重新更新所有节点的所有信息，把当过重心的节点通过mark的方式删掉，就完成了点分治的过程。

　　　　　　　　剩下的，就是一些代码：

　　　　　　找重心的时候顺便更新当前子树的size

void getroot(int pos,int fa)
//与其函数名叫做getroot，倒不如数get_original，因为每一次递归都必须求重心和节点size
{
	f[pos]=0;
	size[pos]=1;
	for(int i=head[pos];i;i=nxt[i])
	{
		if(to[i]==fa||vis[to[i]]) continue;
		getroot(to[i],pos);
		size[pos]+=size[to[i]];
		f[pos]=max(f[pos],size[to[i]]);
	}
	f[pos]=max(f[pos],sn-size[pos]);
	if(f[root]>f[pos]) root=pos;
}

　　　　　　回归本题，我们期望寻找到所有的链，那么我就可以在钦定完节点之后，从所有子树的所有节点中拎出所有节点的deep，我只需要找到这些deep之间和小于等于m的(先不考虑同一颗子树中的情况)。找出这些deep之后，用双指针即可求出当前链假装过重心(同一颗子树有算重的情况)的个数，然后运用容斥原理，减掉每一颗子树中的情况即可。

　　　　　　由于双指针的时候需要排序，所以总的之间复杂度是$O(n\cdot log^2n)$

　　　　最后，附上丑陋的代码... ...

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 40010 
using namespace std;
int to[N<<1],head[N],cnt,nxt[N<<1],val[N<<1];
int f[N],root,m,deep[N],size[N],sn,d[N],tot,ans;
bool vis[N];
inline void add(int x,int y,int z)
{//用cnt是因为后面顺手写了tot
	to[++cnt]=y;
	val[cnt]=z;
	nxt[cnt]=head[x];
	head[x]=cnt;
}
void getroot(int pos,int fa)
//与其函数名叫做getroot，倒不如数get_original，因为每一次递归都必须求重心和节点size
{
	f[pos]=0;
	size[pos]=1;
	for(int i=head[pos];i;i=nxt[i])
	{
		if(to[i]==fa||vis[to[i]]) continue;
		getroot(to[i],pos);
		size[pos]+=size[to[i]];
		f[pos]=max(f[pos],size[to[i]]);
	}
	f[pos]=max(f[pos],sn-size[pos]);
	if(f[root]>f[pos]) root=pos;
}
void getdeep(int pos,int fa)//deep是当前节点到重心的路径边权和
{
	d[++tot]=deep[pos];//之后需要双指针
	for(int i=head[pos];i;i=nxt[i])
	{
		if(to[i]==fa||vis[to[i]]) continue;
		deep[to[i]]=deep[pos]+val[i],getdeep(to[i],pos);
	}
}
int calc(int pos)//双指针求过pos的满足条件数
{
	tot=0;
	getdeep(pos,0);
	sort(d+1,d+tot+1);
	int i=1,j=tot,sum=0;
	while(i<j)
	{
		if(d[i]+d[j]<=m) sum+=j-i,i++;
		else j--;
	}
	return sum;
}
void dfs(int pos)
{
	deep[pos]=0;
	vis[pos]=1;
	ans+=calc(pos);
	for(int i=head[pos];i;i=nxt[i])
	{
		if(!vis[to[i]])
		{
			deep[to[i]]=val[i];
			ans-=calc(to[i]);//单步容斥
			sn=size[to[i]];//求重心时用得到
			root=0;//当前子树重心root
			getroot(to[i],0);
			//现在root是重心了
			dfs(root);
		}
	}
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z);add(y,x,z);
	}
	cnt=0,ans=0;
	scanf("%d",&m);
	f[0]=0x7f7f7f7f;//绝对不能让0是root的神奇操作qwq
	sn=n;
	root=0,getroot(1,0),dfs(root);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

　　　　小结：错误在于对点分治理解不够深刻(其实是双指针的时候j++导致全盘爆炸).

　　　　　　点分治是处理树上统计问题的好方法。鸣谢GXZlegend