Factorials

Factorials 阶乘

　　　　题目大意：给你一个数n，求出n ! 的最后一个非零位。

　　　　注释：n<=4200

　　　　　　想法：开始的想法是觉得这道题应该比较的有趣，因为我们知道，一个数的阶乘的最后的非零位后面或者是0，或者n<=4，所以，我们思考，如何才能有效的登出这个非零位。首先，我们发现，这个非零位后面零的个数是和n！中5的个数有关的，所以，我们思考：如果我们使得这个阶乘没有5会怎么样。想着想着，我相信你的头脑里会自然地蹦出一个定理——唯一分解定理。为什么？因为只有在这个定理的辅助下你才可以将5全部提取出来。我们又想到：由于唯一分解定理的存在，每个数都是有一个或几个定下来的素数组成，我们只需要这句话的一个性质：素数。一个数由素数组成，显然，这个素数是不大于本数的，n的数据范围是4200，是完全在我们的接受范围之内，想到这，这道题的大体轮廓就分为这样几个步骤：

　　　　　　1.筛出n之前的所有素数，由于n的数据范围过小，我们可以O ( n ) 的方法去筛。

　　　　　　2.对于每一个素数，我想求出n！中这个元素最多可以被整除多少次，也就是说我们到底有多少数包含多少这个素数。在此，介绍一个定理$f(n,k)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{k^i}\rfloor$其中，f(n,k)，表示n！中k的个数。

　　　　　　3.这么筛，显然不对，4200里面2的个数就够我们受的了，我们想得到一种优化，我们发现，我们其实只需要得到这个素数的最后一位即可。

　　　　　　4.但，还是有些困难，我们又发现了，对于每一个素数来讲（假设这个素数是a）$a^{4*k+i}=a^i$，我们只需处理%4意义下的即可。但是，a==2是需要特判。

　　　　　　呼~长出一口气，这题就切了。

　　　　最后，附上丑陋的代码......

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int x[600];
int ans[4178];
int num(int a,int b)//计算素数在n!中的个数，这个函数表示b在a!中的个数
{
    int ans=0;
    while(a)
    {
        ans+=a/b;
        a/=b;
    }
    return ans;
}
int power(int a,int b)//快速幂，其实可以直接乘，因为我们只考虑模4意义下
{
    a%=10;
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%10;
        b>>=1;
        a=(a*a)%10;
    }
    return ans;
}
bool prime(int a)//判断是否为素数
{
    int k=(int)(sqrt(a));
    bool flag=true;
    for(int i=2;i<=k;i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            flag=false;
            break;
        }
    }
    return flag;
}
int main()
{
    int n;
    int cnt=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)//筛素数
    {
        if(prime(i)) x[++cnt]=i;
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)//用ans[]存素数个数
    {
        ans[x[i]]+=num(n,x[i]);
    }
    ans[2]-=ans[5];//我们再次用等数量的2将5替换掉，以便将最后的零去掉。
    ans[5]=0;
    int ansans=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)//对于每一个素数来讲，我们进行计算
    {
        ans[x[i]]%=4;
        if(ans[x[i]]==0&&x[i]==2)//特判2，因为别的素数的4次方的最后一位都是1(5已经除去)，但2不是
        {
            ansans*=6;
            ansans%=10;
        }
        ansans*=power(x[i],ans[x[i]]);
        ansans%=10;//我们只要最后一位
    }
    printf("%d\n",ansans);
    return 0;
}

 

　　　　小结：错误：

　　　　　　2A，第一次忘记特判2。