【模板】fhq-treap
一、什么是\(fhq-treap\)
\(fhq-treap\)：非旋转\(treap\)，顾名思义，不用像普通\(treap\)那样繁琐的旋转，只需要通过分裂和合并，就可以实现基本上是所有数据结构能实现的操作，并且短小、精悍，时间复杂度与\(splay\)齐当，算是一个十分易懂且优秀的算法（并不需要提前学习普通\(treap\)）
接下来，我们就来看看\(fhq-treap\)是怎么实现的
二、\(fhq-treap\) 的性质
在这棵平衡树里面，我们保证
左子树节点的权值（在序列中的位置）全部小于根的权值（在序列中的位置），
右子树节点的权值（在序列中的位置）全部大于根的权值（在序列中的位置），
所有分裂和合并操作都满足这个性质
我们还得考虑一个灵魂拷问：为什么\(fhq-treap\)叫平衡树？
因为它满足平衡性，可以达到期望层数\(logn\)层，大大减小了时间复杂度
妈妈再也不用担心我的时间复杂度了
三、\(fhq-treap\) 的两大操作
首先，我们先来明确一下\(fhq-treap\)里面的基本变量
\(ch[2]\)：两个儿子
\(siz\)：以这个节点为根的子树的大小
\(val\)：这个节点的权值
\(rd\)：这个节点的随机权值，用来保证树的平衡性，在新建节点时由\(rand\)得到
\(rev\)：这个节点所代表区间的旋转标记，为0或1
\(Split\)：分裂操作
在题目中，有可能以权值排序建树，也可能以序列顺序建树
这里以权值排序建树
我们将一棵树分裂为两部分：权值<=k和权值>k的，我们称这两部分的节点组成的树为\(x\)和\(y\)
那么怎么分裂呢？
我们考虑，如果当前节点的权值大于k
那么因为右子树的节点权值明显全部都比k大，所以当前节点以及右子树的节点全部加入\(y\)树中，接着继续分裂左子树
如果小于等于k同理
因为它的\(siz\)改变了，所以最后记得\(update\)当前的树
void split(int now,int k,int &x,int &y)
//将以now为根的子树中权值<=k的节点分裂为x子树，>k的节点分裂为y子树
{
if(!now)x=y=0;
else
{
if(k<t[now].val)//如果当前根的val大于k
{
y=now;//加入y树中
split(t[now].ch[0],k,x,t[y].ch[0]);
//分裂左子树，因为接下来遍历到的节点权值一定小于当前的权值
//所以如果有满足要求的，全部接到y的左子树上，满足性质
up(y);
}
else
{
x=now;//加入x树中
split(t[now].ch[1],k,t[x].ch[1],y);//与上同理
up(x);
}
}
}
这是以序列顺序建树的：
void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
if(!now)x=y=0;
else
{
if(k<=t[t[now].ch[0]].siz)
{
y=now;
split(t[now].ch[0],k,x,t[y].ch[0]);
up(y);
}
else
{
x=now;
split(t[now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[x].ch[1],y);
//因为k>左子树的siz，说明k在右子树中
//那么在遍历右子树的时候，所查找的排名要减去左子树的siz和这个节点
up(x);；
}
}
}
\(Merge\)：合并操作
我们把子树分裂出来后，肯定要将子树合并回去
所以合并要怎么写呢？
我们在合并时，假设\(x\)树的权值小于\(y\)树的权值
因为要考虑到上述的平衡性，所以在合并时要满足平衡性，就要用到随机权值\(rd\)辅助
如果要将\(x\)，\(y\)合并，那么当\(t[x].rd<t[y[.rd\)时，我们就将树\(y\)接到树\(x\)上，反之将树\(x\)接到树\(y\)上
在这里合并时，因为已经满足了左子树节点的权值小于右子树节点的权值，所以每次合并时
对于接到树\(x\)上的情况，要接到树\(x\)的右子树上，对于接到树\(y\)上的情况，要接到树\(y\)的左子树上
同样最后也要\(update\)
int merge(int x,int y)
{
if(!(x&&y))return x+y;
if(t[x].rd<t[y].rd)
{
t[x].ch[1]=merge(t[x].ch[1],y);
up(x);
return x;
}
else
{
t[y].ch[0]=merge(x,t[y].ch[0]);
up(y);
return y;
}
}
四、其他操作
\(newnode\)：新建节点
int newnode(int x)
{
t[++nodetot].val=x;
t[nodetot].rd=rand();
t[nodetot].siz=1;
return nodetot;
}
\(ins\)：插入操作
我们找出当前节点\(x\)要插入的位置，将整棵平衡树分裂为\(a\)，\(b\)两棵子树，分别表示\(<=x\)和\(>x\)，再依次合并\(a,x,b\)
以按大小顺序建树：
void ins(int x)
{
int a,b,c;
split(rt,x,a,b);//a树表示<=x，b树表示>x
rt=merge(merge(a,newnode(x)),b);//将x插入其中
}
\(del\)：删除操作
对于要删除的节点权值\(x\)，我们先分裂出\(a,b\)子树，表示\(<=x\)和\(>x\)，再把\(a\)分裂出一个\(c\)子树，使得\(a\)树\(<=x-1\)，这样，树\(c\)就是\(x\)
这时，树\(a,b,c\)分别表示\(<=x-1\)，\(x\)，\(>x\)
再直接合并树\(c\)的左子树和右子树，相当于删除权值为\(x\)的节点，再依次合并\(a,c,b\)
void del(int x)
{
int a,b,c;
split(rt,x,a,b);
split(a,x-1,a,c);
c=merge(t[c].ch[0],t[c].ch[1]);
rt=merge(merge(a,c),b);
}
\(rnk\)：查询\(x\)数的排名
先将原树分裂成\(a(<=(x-1)),b(>(x-1))\)树，括号里面代表节点范围，那么\(t[a].siz\)代表\(<=(x-1)\)的数的个数，再加上\(1\)就是\(x\)的排名
int rnk(int x)
{
int a,b,c;
split(rt,x-1,a,b);
int ans=t[a].siz+1;
rt=merge(a,b);
return ans;
}
\(kth\)：查询排名为\(k\)的数
这是少数几个仅仅用循环就可以解决的问题。
我们可以不断的更新\(now\)，当\(now\)的左子树的\(siz+1=k\)时，那么就寻找到了排名为\(k\)的数，返回答案
在循环中，我们判断当左子树的\(siz>=k\)时，那么说明排名为\(k\)的数肯定在左子树中，所以遍历左子树
否则，就更新：\(k=k-t[t[now].ch[0]].siz-1\)，再遍历右子树，不断循环，相当于一个递归的过程
int kth(int now,int k)
{
while((t[t[now].ch[0]].siz+1)!=k)
{
if(t[t[now].ch[0]].siz>=k)now=t[now].ch[0];
else
{
k=k-t[t[now].ch[0]].siz-1;
now=t[now].ch[1];
}
}
return t[now].val;
}
\(pre\)：求\(x\)的前驱(前驱定义为小于\(x\)，且最大的数)
将原树分离为\(a(<=x-1),b(>x-1)\)，那么相当于\(a\)树中的树都是\(<x\)的数，并且全部都在\(a\)树中，按照定义，我们找到\(a\)树中排名\(t[a].siz\)的数，就是\(a\)树中最大的数（右子树的数大于左子树的数），返回答案。
int pre(int x)
{
int a,b,c;
split(rt,x-1,a,b);
int ans=kth(a,t[a].siz);
rt=merge(a,b);
return ans;
}
\(nxt\)：求\(x\)的后继(后继定义为大于\(x\)，且最小的数)
同\(pre\)操作很像，将原树分离为\(a(<=x),b(>x)\)，那么相当于\(b\)树中的数都是\(>x\)的数，按照定义，寻找\(b\)树中排名第一的数（最小），返回答案。
int nxt(int x)
{
int a,b,c;
split(rt,x,a,b);
int ans=kth(b,1);
rt=merge(a,b);
return ans;
}
\(turn\)：翻转区间
\(p.s:\)例如：原有序序列是\(5\) \(4\) \(3\) \(2\) \(1\)，翻转区间是\([2,4]\)的话，结果是\(5\) \(2\) \(3\) \(4\) \(1\)
这个是按照\(siz\)来排序建树的，因为题目要求的是翻转区间，并不是按照数大小排序，所以用\(siz\)排序
在这里，我们将\([x,y]\)区间提取出来为\(b\)树，在\(b\)树上打标记\(rev\) ^ \(=1\)
void turn(int x,int y)
{
int a,b,c,d;
split(rt,x-1,a,b);
split(b,y-x+1,b,c);
t[b].rev^=1;
rt=merge(a,merge(b,c));
}
五、后记
在这里要注意几个点
1.每次拆分子树后，要记得把原树合并回去，一家人就要整整齐齐的
2.上面的操作都是基本操作，都是板子，一些更高深的题可能需要更多操作和打标记，但主要都是灵活运用\(split\)和\(merge\)函数，就可以实现很多操作
六、例题
【BZOJ3786】星系探索
深深感到自己的弱小
