【XSY2508】Fairy（二分图）

\(Description\)

给定\(n\)个点，\(m\)条边的无向图（无自环），可以从图中删除一条边，问删除哪些边可以使图变成一个二分图。

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\(Input\)

第\(1\)行包含两个整数\(n,m\)，分别表示点数和边数。

第\(2~m+1\)行每行两个数\(x,y\)，表示有一条边连接点\(x,y\)。

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\(Output\)

第一行两个整数，表示能删除的边的个数。

接下来一行按照从小到大的顺序输出能删除的边的编号。

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\(Sample Input\)

4 4

1 2

1 3

2 4

3 4

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\(Sample Output\)

4

1 2 3 4

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\(Hint\)

\(10\%\)的数据，\(n，m<=10\)

\(40\%\)的数据，\(n，m<=1000\)

\(70\%\)的数据，\(n，m<=100000\)

\(100\%\)的数据，\(n，m<=2000000\)

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思路

我们看到题目，发现跟判断是否为二分图有关

我们知道，可以通过判断是否存在奇环来判断是否为二分图，而这个判断可以通过\(col\)染色来维护，如果相邻两个节点颜色相同，就是奇环

我们需要删掉一条边使得新图是二分图，就要使所有奇环被破坏，即删除的这条边为所有奇环的共边

于是，我们设\(tot\)为奇环的总个数，设一个数组\(num[u]\)，表示经过节点\(u\)的奇环个数，判断\(num[u]=tot\)

但是，我们来看看下面这种情况：

红色边表示奇环的边，蓝色的边表示偶环的边，绿色的边表示两个环的共边

我们可以发现，如果去掉绿的边，则两个环会形成一个新的环，但点数为\(7\)，是个奇环！

我们可以得到结论，一个奇环和一个偶环共边，去掉共边，形成的新环是奇环！

于是，我们还要判断一下这个边是不是偶环上的边

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2000010;
int n,m;
int to[N<<1];
int nxt[N<<1];
int head[N];
int id[N];
int cnt=0;
bool db[N];
int ans[N];
int anstot=0;
int col[N];
int tot=0;
int num[N];
int st[N];
int dfn[N];
bool vis[N];
bool used[N];
int topp=0,ind=0;
void add(int u,int v,int idx)
{
	to[++cnt]=v;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
	id[cnt]=idx;
}
void dfs(int u,int fa)
{
	dfn[u]=++ind;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		if(dfn[to[i]]>dfn[u]||v==fa)continue;
		if(col[v]!=-1)
		{
			if(col[v]==col[u])//是奇环
			{
				tot++;
				num[id[i]]++;
				for(int j=topp;j>0&&to[st[j]]!=v;j--)num[id[st[j]]]++;//奇环更新num
			}
			else 
			{
				for(int j=topp;j>0&&to[st[j]]!=v;j--)db[id[st[j]]]=1;//偶环打标记
			}
		}
		else
		{
			col[v]=col[u]^1;//染色
			st[++topp]=i;//加入stack
			dfs(v,u);
			st[topp--]=0;//弹出
		}		
	}
}
void work(int u)
{
	vis[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		if(!used[id[i]]&&((!db[id[i]]&&tot==num[id[i]])||!tot))//used表示是否被统计进答案中
		//不是偶环并且是所有奇环的共边或者没有奇环
		{
			ans[++anstot]=id[i];
			used[id[i]]=1;	
		}
		if(!vis[v])work(v);//防止重复访问
	}
}
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int a,b;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d %d",&a,&b);
		add(a,b,i);add(b,a,i);
	}
	memset(col,-1,sizeof(col));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(col[i]==-1)
		{
			tot=0;
			col[i]=0;
			dfs(i,-1);
			work(i);
		}
	}
	sort(ans+1,ans+anstot+1);
	printf("%d\n",anstot);
	for(int i=1;i<=anstot;i++)printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}