【XSY2564】sequence（字符串+DP）

$Description$

【题目描述】

给定一个长度为$n$的由$['0'..'9']$组成的字符串$s$，$v[i,j]$表示由字符串$s$第$i$到第$j$位组成的十进制数字。

将它的某一个上升序列定义为：将这个字符串切割成$m$段不含前导$'0'$的串，切点分别为$k_{1},k_{2}...k_{m-1}$，使得$v[1,k_{1}]<v[k_{1}+1,k_{2}]<...<v[k_{m-2}+1,k_{m-1}]$。

请你求出该字符串$s$的上升序列个数，答案对$10^9+7$取模。

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$Input$

第一行一个整数$n$,表示字符串长度；

第二行$n$个$['0'..'9']$内的字符，表示给出的字符串$s$。

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$Output$

仅一行表示给出字符串$s$的上升序列个数对$10^9+7$取模的值。

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$SampleInput1$

6

123434

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$SampleOutput1$

8

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$SampleInput2$

8

20152016

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$SampleOutput2$

4

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$Hint$

对于$30\%$的数据满足：$n<=10$；

对于$100\%$的数据满足：$n<=5000$。

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思路

看到这道题，特征十分明显：求方案数，数值较大（要mod），所以我们果断选择$dp$

我们设数组$dp[i][j]$表示第一段以$i$开头，长度为$j\sim (n-i+1)$的方案数的和

于是，我们最后的答案为$dp[1][1]$，表示第一段以$1$开头，长度为$1\sim n$的方案数的和

接着，我们设$a[i][j]$表示$s[i][n]$（以下$s$就表示字符串）与$s[j][n]$的最长公共前缀

显而易见，我们得到$s[i][i+a[i][j]-1]=s[j][j+a[i][j]-1]$

则我们在推状转方程时会有三种情况

$1.$ $dp[i][n-i+1]=1$，显而易见，这种情况下这一段直接到$n$，所以值为$1$
$2.$ 我们来比较一下两个相邻且长度相等为$j$的字符串所组成的十进制数$s[i][i+j-1]$与$s[i+j][i+2\times j-1]$的大小

$2.1$ 若$s[i][i+j-1]<s[i+j][i+2\times j-1]$，那么满足要求，则有

dp[i][j]=dp[i+j][j]

$2.2$ 若$s[i][i+j-1]\ge s[i+j][i+2\times j-1]$，因为两个字符串长度相等，若后者再往后多一位，还是比前者大，于是有

dp[i][j]=dp[i+j][j+1]

最后，因为要满足$dp[i][j]$的定义，我们还要将$dp[i][j]$加上$dp[i][j+1]$，至于为什么，自行理解

现在，推完了状转方程，我们回过头来考虑怎么比较两个数的大小

我们可以比较$s[i][i+a[i][i+j]]$与$s[i+j][i+j+a[i][i+j]]$的大小，既可以比较两个数大小

但是我们考虑一种情况，若$i+a[i][i+j]>i+j-1$，那么事情就一发不可收拾了，于是我们要取$min(j-1,a[i][j])$。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n;
char s[5010];
int a[5010][5010];
int dp[5010][5010];
bool check(int i,int j)
{
    int len=min(j-1,a[i][i+j]);
    return s[i+len]<s[i+j+len];
}
int main()
{
    scanf("%d %s",&n,s+1);
    for(int i=n;i>0;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if(s[i]==s[j])a[i][j]=a[i+1][j+1]+1;
        }
    }
    for(int i=n;i>0;i--)
    {
        if(s[i]!='0')
        {
            dp[i][n-i+1]=1;
            for(int j=1;j<=n-i;j++)
            {
                if(check(i,j))dp[i][j]=dp[i+j][j];
                else dp[i][j]=dp[i+j][j+1];
            }
            for(int j=n-i;j>0;j--)dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i][j+1])%mod;
        }
    }
    printf("%d\n",dp[1][1]);
}