【XSY2564】sequence（字符串+DP）
\(Description\)
【题目描述】
给定一个长度为\(n\)的由\(['0'..'9']\)组成的字符串\(s\)，\(v[i,j]\)表示由字符串\(s\)第\(i\)到第\(j\)位组成的十进制数字。
将它的某一个上升序列定义为：将这个字符串切割成\(m\)段不含前导\('0'\)的串，切点分别为\(k_{1},k_{2}...k_{m-1}\)，使得\(v[1,k_{1}]<v[k_{1}+1,k_{2}]<...<v[k_{m-2}+1,k_{m-1}]\)。
请你求出该字符串\(s\)的上升序列个数，答案对\(10^9+7\)取模。
\(Input\)
第一行一个整数\(n\),表示字符串长度；
第二行\(n\)个\(['0'..'9']\)内的字符，表示给出的字符串\(s\)。
\(Output\)
仅一行表示给出字符串\(s\)的上升序列个数对\(10^9+7\)取模的值。
\(SampleInput1\)
6
123434
\(SampleOutput1\)
8
\(SampleInput2\)
8
20152016
\(SampleOutput2\)
4
\(Hint\)
对于\(30\%\)的数据满足：\(n<=10\)；
对于\(100\%\)的数据满足：\(n<=5000\)。
思路
看到这道题，特征十分明显：求方案数，数值较大（要mod），所以我们果断选择\(dp\)
我们设数组\(dp[i][j]\)表示第一段以\(i\)开头，长度为\(j\sim (n-i+1)\)的方案数的和
于是，我们最后的答案为\(dp[1][1]\)，表示第一段以\(1\)开头，长度为\(1\sim n\)的方案数的和
接着，我们设\(a[i][j]\)表示\(s[i][n]\)（以下\(s\)就表示字符串）与\(s[j][n]\)的最长公共前缀
显而易见，我们得到\(s[i][i+a[i][j]-1]=s[j][j+a[i][j]-1]\)
则我们在推状转方程时会有三种情况
\(1.\) \(dp[i][n-i+1]=1\)，显而易见，这种情况下这一段直接到\(n\)，所以值为\(1\)
\(2.\) 我们来比较一下两个相邻且长度相等为\(j\)的字符串所组成的十进制数\(s[i][i+j-1]\)与\(s[i+j][i+2\times j-1]\)的大小
\(2.1\) 若\(s[i][i+j-1]<s[i+j][i+2\times j-1]\)，那么满足要求，则有
dp[i][j]=dp[i+j][j]
\(2.2\) 若\(s[i][i+j-1]\ge s[i+j][i+2\times j-1]\)，因为两个字符串长度相等，若后者再往后多一位，还是比前者大，于是有
dp[i][j]=dp[i+j][j+1]
最后，因为要满足\(dp[i][j]\)的定义，我们还要将\(dp[i][j]\)加上\(dp[i][j+1]\)，至于为什么，自行理解
现在，推完了状转方程，我们回过头来考虑怎么比较两个数的大小
我们可以比较\(s[i][i+a[i][i+j]]\)与\(s[i+j][i+j+a[i][i+j]]\)的大小，既可以比较两个数大小
但是我们考虑一种情况，若\(i+a[i][i+j]>i+j-1\)，那么事情就一发不可收拾了，于是我们要取\(min(j-1,a[i][j])\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n;
char s[5010];
int a[5010][5010];
int dp[5010][5010];
bool check(int i,int j)
{
int len=min(j-1,a[i][i+j]);
return s[i+len]<s[i+j+len];
}
int main()
{
scanf("%d %s",&n,s+1);
for(int i=n;i>0;i--)
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(s[i]==s[j])a[i][j]=a[i+1][j+1]+1;
}
}
for(int i=n;i>0;i--)
{
if(s[i]!='0')
{
dp[i][n-i+1]=1;
for(int j=1;j<=n-i;j++)
{
if(check(i,j))dp[i][j]=dp[i+j][j];
else dp[i][j]=dp[i+j][j+1];
}
for(int j=n-i;j>0;j--)dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i][j+1])%mod;
}
}
printf("%d\n",dp[1][1]);
}
