【XSY2519】神经元（neuron）（DP+prufer序列）

$Description$

你培育出了一些新型的神经元，它们可以有很多的轴突。

具体来说，对于第$i$个神经元，它有$1\sim d_{i}$条轴突，因此可以与$1\sim d_{i}$个神经元相连，可以将轴突看成无向图的边，假定每个神经元都是不同的。

现在你想知道，有多少种方案使得其中恰好$k$个神经元相连通，这里的连通需要保证任意两个神经元间有且仅有一条路径，方案数可能很大，你只需要对$10^9+7$取模输出。

两个方案是不同的当且仅当选择的神经元集合不同或其中有至少一条轴突$(u，v)$出现在一个方案但不出现在另一个方案。

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$Input$

第$1$行包含一个整数$n$，表示神经元的个数。

第$2$行包含$n$个整数$d_{i}$，表示第$i$个神经元最多的轴突数量$(1<=d_{i}<n)$。

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$Output$

输出$1$行，包含$n$个整数，第$i$个整数表示其中恰好有$i$个神经元连通的方案数模$10^9+7$后的值。

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$Sample Input$

3

2 2 1

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$Sample Output$

3 3 2

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$Hint$

$对于10\%的数据，n<=8$

$对于另外10\%的数据，di=n-1$

$对于20\%的数据，n<=15$

$对于30\%的数据，n<=20$

$对于40\%的数据，n<=50$

$对于60\%的数据，n<=70$

$对于100\%的数据，n<=100$

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1.思路

这道题，我们一看到题目，是要求方案数，还会很大，于是果断选择$dp$

我们发现题目有一个非常苛刻的要求：

两个方案是不同的当且仅当选择的神经元集合不同或其中有至少一条轴突(u，v)出现在一个方案但不出现在另一个方案。

这个要求十分苛刻，于是我们考虑使用prufer（不懂的看这里）序列。

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2.回归题目

大家现在应该知道$prufer$序列有什么用了吧

我们可以用$prufer$序列来完成题目的那个苛刻的要求

我们考虑有$dp[i][j][k]$，表示枚举到了第$i$个神经元，在这$i$个神经元中用了$j$个构成生成树，这些神经元在生成树的$prufer$序列中的个数有$k$个

我们分$2$种情况：取与不取

不取：$dp[i+1][j][k]=dp[i+1][j][k]+dp[i][j][k]$

取：如果取的话，我们枚举这个神经元伸出多少条边，设伸出$l$条边，所以在$prufer$序列中有$k+l$个数，所以我们可以考虑这$k$个数放在$k+l$个位置中，有$C_{k+l}^k$种情况

于是我们的状转方程为：
$dp[i+1][j+1][k+l]=dp[i+1][j+1][k+l]+dp[i][j][k]*C_{k+l}^k$

对于$C_{k+l}^k$，我们可以$O(n^2)$预处理

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3.代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7,N=110;
typedef long long ll;
int d[N];
ll dp[N][N][N];
ll c[N][N];
int n;
void work()//C预处理
{
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
	}
}
void solve()//dp方程
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=i;j++)
		{
			for(int k=0;k<=n-2;k++)
			{
				if(dp[i][j][k])
				{
					dp[i+1][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i+1][j][k])%mod;
					for(int l=0;l<=d[i+1]-1&&l+k<=n-2;l++)
						dp[i+1][j+1][k+l]=(dp[i+1][j+1][k+l]+dp[i][j][k]*c[k+l][k])%mod;
				}
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&d[i]);
	dp[0][0][0]=1;
	work();
	solve();
	printf("%d ",n);
	for(int i=2;i<=n;i++)printf("%lld ",dp[n][i][i-2]);
	return 0; 
}