【模板】莫比乌斯反演
一、莫比乌斯反演
我们先来看一个函数：\(F(x)=\sum_{d\mid x} f(d)\)
我们先枚举一下这个函数的各个值
\(F(1)=f(1)\)
\(F(2)=f(1)+f(2)\)
\(F(3)=f(1)+f(3)\)
\(F(4)=f(1)+f(2)+f(4)\)
\(F(5)=f(1)+f(5)\)
\(F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)\)
\(F(7)=f(1)+f(7)\)
\(F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)\)
于是，我们可以反过来推导出关于\(f(n)\)的关系式
\(f(1)=F(1)\)
\(f(2)=F(2)-F(1)\)
\(f(3)=F(3)-F(1)\)
\(f(4)=F(4)-F(2)-F(1)\)
\(f(5)=F(5)-F(1)\)
\(f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)\)
\(f(7)=F(7)-F(1)\)
\(f(8)=F(8)-F(4)\)
我们可以得到\(F(x)=\sum_{d\mid x} f(d)\Rightarrow f(x)=\sum_{d\mid x}\mu(d)F(\frac{n}{d})\qquad\)
其中，我们可以了解到一个新的函数：莫比乌斯函数
二、莫比乌斯函数：\(\mu(x)\)
这是莫比乌斯函数，定义如下
-
若 \(x=1\)，则 \(\mu(x)=1\)
-
若 \(x=p{1}p{2}p{3}\dots p{k}\)，且\(p{i}\)为互不相同的质数，则有\(\mu(x)=(-1)^k\)
-
其他情况中 \(\mu(x)=0\)
莫比乌斯函数中有用的性质还是挺多的，这里就只列出一个最常用的炒鸡重要的性质
\(\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]\)
这条性质可以运用到很多与\(gcd\)有关的题目中的推导式子中，非常重要
同时，莫比乌斯函数还是一个积性函数
在这里给大家提及一下积性函数\(f\)：既当\(gcd(i,j)=1\)时，\(f(xy)=f(x)f(y)\)的函数叫积性函数
积性函数的性质
- \(f(1)=1\)
- 积性函数的前缀和也是积性函数
莫比乌斯函数就是借助了它是积性函数的特点，使其可以通过线性筛得到
求莫比乌斯函数\(\mu\)的代码
inline void init()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
莫比乌斯反演和函数可以运用在很多题目的公式推导上，重点还是公式的推导
三、整除分块
整除分块是在莫比乌斯反演题中重要的一环，将询问的复杂度的从\(O(n)\)优化成\(O(\sqrt n)\)，可以成功解决大多数数据较大的题目，十分重要
整除分块用于求\(\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor\)的普遍情况（并不强制如上形式）下，只要满足有规律的一段区间中的值是相同的，就可以用整除分块。我们来看看对于较简单的整除分块。
若令\(n=22,x=\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor\)，则有：
\(i=1\)时，\(x=22\)
\(i=2\)时，\(x=11\)
\(i=3\)时，\(x=7\)
\(i=4\)时，\(x=5\)
\(i=5\)时，\(x=4\)
\(i=6\)时，\(x=3\)
\(i=7\)时，\(x=3\)
\(i=8\)时，\(x=2\)
\(i=9\)时，\(x=2\)
\(i=10\)时，\(x=2\)
\(i=11\)时，\(x=2\)
\(i=12\)时，\(x=1\)
\(i=13\)时，\(x=1\)
\(\vdots\)
\(i=22\)时，\(x=1\)
由上可以看到，由几段区间的\(x\)是相同的，我们可以通过\(l=（上一次的r） +1，r=n/(n/l)\)得到区间\([l,r]\)，可以\(O(1)\)时间算出这段区间的\(x\)的和，最后起到求和的作用
void solve()
{
int ans=0;
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
ans+=(r-l+1)*(n/(n/l));
}
}
