【模板】莫比乌斯反演

一、莫比乌斯反演

我们先来看一个函数：$F(x)=\sum_{d\mid x} f(d)$

我们先枚举一下这个函数的各个值

$F(1)=f(1)$

$F(2)=f(1)+f(2)$

$F(3)=f(1)+f(3)$

$F(4)=f(1)+f(2)+f(4)$

$F(5)=f(1)+f(5)$

$F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)$

$F(7)=f(1)+f(7)$

$F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)$

于是，我们可以反过来推导出关于$f(n)$的关系式

$f(1)=F(1)$

$f(2)=F(2)-F(1)$

$f(3)=F(3)-F(1)$

$f(4)=F(4)-F(2)-F(1)$

$f(5)=F(5)-F(1)$

$f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)$

$f(7)=F(7)-F(1)$

$f(8)=F(8)-F(4)$

我们可以得到$F(x)=\sum_{d\mid x} f(d)\Rightarrow f(x)=\sum_{d\mid x}\mu(d)F(\frac{n}{d})\qquad$

其中，我们可以了解到一个新的函数：莫比乌斯函数

二、莫比乌斯函数：$\mu(x)$

这是莫比乌斯函数，定义如下

1. 若 $x=1$，则 $\mu(x)=1$

2. 若 $x=p{1}p{2}p{3}\dots p{k}$，且$p{i}$为互不相同的质数，则有$\mu(x)=(-1)^k$

3. 其他情况中 $\mu(x)=0$

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莫比乌斯函数中有用的性质还是挺多的，这里就只列出一个最常用的炒鸡重要的性质

$\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]$

这条性质可以运用到很多与$gcd$有关的题目中的推导式子中，非常重要

同时，莫比乌斯函数还是一个积性函数

在这里给大家提及一下积性函数$f$：既当$gcd(i,j)=1$时，$f(xy)=f(x)f(y)$的函数叫积性函数

积性函数的性质

1. $f(1)=1$
2. 积性函数的前缀和也是积性函数

莫比乌斯函数就是借助了它是积性函数的特点，使其可以通过线性筛得到

求莫比乌斯函数$\mu$的代码

inline void init()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

莫比乌斯反演和函数可以运用在很多题目的公式推导上，重点还是公式的推导

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三、整除分块

整除分块是在莫比乌斯反演题中重要的一环，将询问的复杂度的从$O(n)$优化成$O(\sqrt n)$，可以成功解决大多数数据较大的题目，十分重要

整除分块用于求$\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$的普遍情况（并不强制如上形式）下，只要满足有规律的一段区间中的值是相同的，就可以用整除分块。我们来看看对于较简单的整除分块。

若令$n=22,x=\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$，则有：

$i=1$时，$x=22$

$i=2$时，$x=11$

$i=3$时，$x=7$

$i=4$时，$x=5$

$i=5$时，$x=4$

$i=6$时，$x=3$

$i=7$时，$x=3$

$i=8$时，$x=2$

$i=9$时，$x=2$

$i=10$时，$x=2$

$i=11$时，$x=2$

$i=12$时，$x=1$

$i=13$时，$x=1$

$\vdots$

$i=22$时，$x=1$

由上可以看到，由几段区间的$x$是相同的，我们可以通过$l=（上一次的r） +1，r=n/(n/l)$得到区间$[l,r]$，可以$O(1)$时间算出这段区间的$x$的和，最后起到求和的作用

void solve()
{
	int ans=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		ans+=(r-l+1)*(n/(n/l));
	}
}