线性方程组之高斯消元
一、形式
\(\begin{cases} A_{11}X_{1} + A_{12}X_{2} + ......+A_{1n}X_{n}=B_{1} \\ A_{21}X_{1} + A_{22}X_{2} + ......+A_{2n}X_{n}=B_{2}\\ ...... A_{n1}X_{1} + A_{n2}X_{2} + ......+A_{nn}X_{n}=B_{n} \end{cases}\)
上列方程组：
\(A=\)\(\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{n1} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}\)
\(B=\)\(\begin{bmatrix} B_{1} \\ \vdots \\ B_{n} \end{bmatrix}\)
\(X=\)\(\begin{bmatrix} X_{1} \\ \vdots \\ X_{n} \end{bmatrix}\)
可以看作为：\(AX=B\)
二、初等变换（行）
1.将某行同乘或同除一个数（非0）
2.将某行加到另一行
3.将任意两行互换
值都不变（相信大家都知道）
三、步骤
大家可以发现，解线性方程其实相当于解小学方程，于是我们的步骤就是相当于模拟小学方程解法
1.消元
我们考虑对于第\(i\)个方程，我们消元消掉\(X_{i}\)
于是我们需要找到每一个方程中，找到对于\(X_i\)的最大系数\(maxn\)以及其对应的方程，将它与第\(i\)个方程调换，这样能够保证最大系数的\(X_i\)处理次数最少，时间最少。
找到最大系数后，我们需要判断一下\(maxn\)是否等于0，如果等于0就代表没有解。但是因为使用\(double\)类型，要考虑下精度问题，所以判断条件为小于\(eps\)，
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int now=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(fabs(a[now][i])<fabs(a[j][i]))now=j;//寻找x[i]的最大系数
}
if(fabs(a[now][i])<eps)//判断，如果x[i]的系数小于eps，说明x[i]=0，判断为无解
{
puts("No Solution");
return 0;
}
if(i!=now)swap(a[i],a[now]);//将最大系数x[i]所在的方程与第i方程交换
我们由小学奥数可得，我们若想要把\(X_i\)消掉，最方便的方法是把所有方程的\(X_i\)的系数都化为\(1\)，再加减消元即可，在处理过程中需要注意方程中的其他变量也要随之变化
dl div=a[i][i];//这就是maxn
for(int j=i;j<=n+1;j++)a[i][j]/=div;//先处理以maxn为系数的x[i]所在的方程
for(int j=i+1;j<=n;j++)//将其他方程都进行处理
{
div=a[j][i];//其他方程的x[i]的系数
for(int k=i;k<=n+1;k++)
{
a[j][k]-=div*a[i][k];
}
}
}
这样我们就可以一直循环，处理出最后的\(X_n\)
ans[n]=a[n][n+1]/a[n][n];
2.回代
回代也很好理解，每次都从\(n\)往回模拟方程代入，处理出每个\(X_i\)
for(int i=n-1;i>=1;i--)
{
ans[i]=a[i][n+1];
for(int j=i+1;j<=n;j++)ans[i]-=ans[j]*a[i][j];
}
整体代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double dl;
const int N=110;
const dl eps=1e-9;
dl a[N][N],ans[N],x[N][N];
int n;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n+1;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%lf",&x[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
a[i][j]=2*(x[1][j]-x[i+1][j]);
a[i][n+1]+=x[1][j]*x[1][j]-x[i+1][j]*x[i+1][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int now=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(fabs(a[now][i])<fabs(a[j][i]))now=j;
}
if(fabs(a[now][i])<eps)
{
puts("No Solution");
return 0;
}
if(i!=now)swap(a[i],a[now]);
dl div=a[i][i];
for(int j=i;j<=n+1;j++)a[i][j]/=div;
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
div=a[j][i];
for(int k=i;k<=n+1;k++)
{
a[j][k]-=div*a[i][k];
}
}
}
ans[n]=a[n][n+1]/a[n][n];
for(int i=n-1;i>=1;i--)
{
ans[i]=a[i][n+1];
for(int j=i+1;j<=n;j++)ans[i]-=ans[j]*a[i][j];
}
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.3lf ",ans[i]);
return 0;
}
四、判断解
\(A、有唯一解：\)最后处理出来的\(X_i\)的系数不为0并且过程中得出系数不为0
\(B、无解：\)在处理过程中发现对于\(X_i\)的\(maxn=0\)
\(C、无穷解：\)最后处理出来的\(X_i\)的系数为0并且等式右边也为0
题目：
P3389 【模板】高斯消元法
P2455 [SDOI2006]线性方程组
五、总结
其实可以发现，高斯消元还是很好理解的，主要难的是前面的怎样推导线性方程组的过程，推导出来后就直接套模板就好了
