「题解」Solution P5094

Description

给定两个长度为 \(n\) 的序列 \(v_i,x_i\)，定义一个点对 \((i,j)\)（\(i \ne j\)）的价值 \(f(i,j)\) 为 \(\max(v_i,v_j) \times |x_i-x_j|\)，求：

\[\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n f(i,j)[i \ne j] \]

Solution

很难想象这只是一个绿题，可能拿树状数组做会舒服一点吧，这里介绍分治做法。

我们把 \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n f(i,j)[i \ne j]\) 先拆成 \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n \max(v_i,v_j)[i \ne j]\) 和 \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n |x_i-x_j|[i \ne j]\)，看看分别怎么计算：

• \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n \max(v_i,v_j)[i \ne j]\) 我们把 \(v_i\) 升序排列一下，那么第 \(i\) 个数的贡献即为前 \(i-1\) 个数。
• \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n |x_i-x_j|[i \ne j]\) 我们把 \(x_i\) 升序排列一下，那么定 \(j\) 为右端点，下面这一段就可以如下化简：

\[\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{j-1}|x_i-x_j|&=\sum\limits_{i=1}^{j-1}x_j-x_i\\&=\sum\limits_{i=1}^{j-1}x_j -\sum\limits_{i=1}^{j-1}x_i\\&=x_j \times (j-1)-sum_{j-1}\end{aligned} \]

其中 \(sum_i\) 为前缀和。

那把这两个融合起来怎么搞呢？我们可以用结构体输入这两个序列，以 \(v\) 为第一关键字先把序列进行排序。

现在对于区间 \([l,r]\) 计算他的贡献，这一段区间的 \(v\) 是已经排好序的，所以考虑分治，将区间分为两半 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\)，可以通过递归算出贡献在 \([l,mid]\) 的和贡献在 \([mid+1,r]\) 的，接下来要算的就是有贡献的跨越这两个区间的。

我们在 \([mid+1,r]\) 中枚举 \(j\) 作为贡献的右界，算 \([l,j]\) 的贡献，并将其加起来作为跨区间的贡献和。将其分拆为 \(v\) 和 \(x\) 两部分计算：

• \(v\)，既然排过序了那么全部都是 \(v_j\)。
• \(x\)，其中 \([l,j]\) 的贡献会有一个位置 \(i\) 使得 \(i\) 是最后一个 \(a_i(x) \le a_j(x)\) 的，那么区间 \([l,j]\) 的贡献就可以如下计算（\(sumx_{[l,r]}\) 为 \(a_{[l,r]}(x)\) 的和）：

\[\begin{aligned}x_j-x_l+x_j-x_{l+1}+\cdots+x_j-x_i+x_{i+1}-x_j+\cdots+x_{mid}-x_j&=\sum\limits_{k=l}^i x_j-x_k+\sum\limits_{k=i+1}^{mid} x_k-x_j\\&=\sum\limits_{k=l}^i x_j-\sum\limits_{k=l}^i x_k+\sum\limits_{k=i+1}^{mid} x_k-\sum\limits_{k=i+1}^{mid} x_j\\&=x_j \times (i-l+1)-sumx_{[l,i]}+sumx_{[i+1,mid]}-x_j \times (mid -i)\end{aligned} \]

通过预处理前缀和这个是可以 \(\mathcal O(1)\) 求的，也就是对于一个 \(j\)，他对答案的贡献为：

\[v_j \times (x_j \times (i-l+1)-sumx_{[l,i]}+sumx_{[i+1,mid]}-x_j \times (mid -i)) \]

但注意，能将其如上计算的前提是 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 分别按照 \(x\) 进行排序。

我们都知道有归并排序，所以可以处理完上面这些之后再将 \([l,r]\) 以 \(x\) 为关键字排一下序。我们不用在处理答案前排序的原因应该很简单，因为有递归函数帮我们处理 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 的顺序问题，只需要为 \([l,r]\) 外面的区间服务即可。

代码放的是处理贡献的部分。

Code

int mid = (l + r) / 2;
solve(l, mid);
solve(mid + 1, r);
memset(sum, 0, sizeof(sum));
for (int i = l; i <= r; i++) sum[i] = sum[i - 1] + a[i].x;
int i = l - 1;
for (int j = mid + 1; j <= r; j++) {
	while (a[i + 1].x <= a[j].x && i < mid)
		i++;
	ans += a[j].v * ((i - l + 1) * a[j].x - sum[i] + sum[mid] - sum[i] - (mid - i) * a[j].x);
}