Background
最大子段和是最经典的 dp 问题了，但是最近书虫发现了最大子段和的另一个拓展算法 —— 拆块最大子段和。
拆块最大子段和可以用两步，书虫将其命名为：
- 拆开
- 组合
接下来我们将用一些例子来讲解这个算法。
Sample 0 P1115 最大子段和
Description
给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_i\)，求出一段使得这一段的和最大。
\(1 \le n \le 2 \times 10^5\)，\(|a_i| \le 10^4\)。
Solution
最大子段和板子，考虑 dp，定义 \(dp[i]\) 为 \([1,i]\) 之间的最大子段和，那么对于第 \(i\) 个位置，可以考虑从 \(dp[i-1]\) 后面接 \(a[i]\)，也可以选择单独开始一个子段，因此状态转移方程很容易就得出来了：
注：下文中 \(\max\limits_{i \in [l,r]}[a[i]]\) 代表 \(a[l]\) 到 \(a[r]\) 的最大子段和。
Sample 1 P2545 [AHOI2004]实验基地
Step 1：Link。
Step 2：Link Step 1 的加强版，想投主题库没过（
Description
给定一个 \(2 \times n\) 的矩阵，第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数为 \(a_{i,j}\)。
求一个凹形块使得凹形块里的数字和最大。
凹形块定义为一个 \(2 \times w_1\) 的矩形，其中 \(3 \le w_1 \le n\)，然后在第一行把一块 \(1 \times w_2\) 的矩形挖掉，其中 \(1 \le w_2 \le n-2\)，要保证挖掉之后第一行左右都有残留的部分。
Step 1：\(n \le 3000\)。
Step 2：\(n \le 5 \times 10^6\)。
Solution for Step 1
凹形块就是类似下面这个图形：
---++---+++-
---++++++++-
我们尝试 拆开，也就是拆块最大子段和的第一步：
---++ --- +++-
---++ +++ +++-
如果我们不考虑第二步 组合，那么可以用一个 \(\mathcal O(n^2)\) 的做法完成。
拆成的三部分中间的部分是枚举的部分，假设他为 \([l,r]\)，那么答案可以由三部分组成：
- 左边的是 \(\max\limits_{i \in [1,l-1]}[a[i][1]+a[i][2]]\)。
- 中间是 \(\displaystyle \sum\limits_{i=l}^r a[i][2]\)。
- 右边的是 \(\max\limits_{i \in [r+1,n]}[a[i][1]+a[i][2]]\)。
因此，我们只需要枚举中间的区间 \([l,r]\) 即可，时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。
这个算法可以轻松通过 Step 1。
Solution for Step 2
\(\mathcal O(n^2)\) 会炸掉，我们需要 \(\mathcal O(n)\)。
我们发现上一个 Solution 仅仅是 拆开，没有 组合。
所以我们将这个凹形块重新拆开，省去左右的空白：
++ --- +++
++ +++ +++
拆开后，我们将其一一组合，发现有三种组合方式：
- 左，将其称为单独块，定义 \(dp[i][1]\) 为 \(\max\limits_{k \in [1,i]}[a[k][1]+a[k][2]]\)。
- 左 + 中，将其称为 L 形块，定义 \(dp[i][2]\) 为 \([1,i]\) 中的最大 L 形块。
- 左 + 中 + 右，即为凹形块，定义 \(dp[i][3]\) 为 \([1,i]\) 中的最大凹形块。
不难发现，这三块可以同时计算：
- 左的单独块就是普通的最大子段和。
- 左 + 中的 L 形块可以是从左的单独块接上一个 \(a[i][2]\) 或者左 + 中的 L 形块接上一个 \(a[i][2]\)，即为：
- 左 + 中 + 右的凹形块可以是从左 + 中的 L 形块接上一个 \(a[i][1]+a[i][2]\) 或者左 + 中 + 右的凹形块接上一个 \(a[i][1]+a[i][2]\)，即为：
我们就可以 \(\mathcal O(n)\) 计算了，回顾本题，我们将其 拆开 为三块，然后 组合 计算，很容易就完成了拆块最大子段和。
是不是还挺简单的？
Practice 1 P7160 「dWoi R1」Sixth Monokuma's Son
这题将不会详细的讲述如何 拆开 和 组合，而是将直接讲述 拆开 和 组合 的结果。
Description
给定一个 \(n \times m\) 的矩阵，第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数为 \(a[i][j]\)。
求一个矩形环使得环里的数之和最大。
矩形环定义为一个 \(n \times w_1\) 的矩阵，其中 \(3 \le w_1 \le m\)，然后在中间选取一个 \((n-2) \times w_2\) 的矩阵挖掉，第一行和最后一行要保留，其中 \(1 \le w_2 \le (m-2)\)，且挖掉这个矩阵之后上下左右都要有保留的部分。
Step 1：\(n \le 10\)，\(m \le 1000\)。
Step 2：\(n \le 10\)，\(m \le 10^5\)。
Solution for Step 1
一个矩阵环即为：
---+++++--
---+--++--
---+--++--
---+++++--
拆开 结果如下所示：
---+ ++ ++--
---+ -- ++--
---+ -- ++--
---+ ++ ++--
我们还是枚举中间的 \([l,r]\)，然后左右算最大子段和。
\(\mathcal O(n^2)\)，期望得分 \(50\)。
Solution for Step 2
重新 拆开：
+ ++ ++
+ -- ++
+ -- ++
+ ++ ++
然后 组合 为三部分：
- 左的单独块。
- 左 + 中的 C 形块。
- 左 + 中 + 右的矩形环。
具体细节请读者自行完善，可以做到 \(\mathcal O(m)\)（输入省略）。
