【YBTOJ】【DFS】最多约数

最多约数

给定一个正整数 \(n\) ，对于所有不超过 \(n\) 的正整数，找到包含约数最多的一个数。如果有多个这样的数，那么回答最小的那个。

\(n\leq 10^{16}\)

题解

首先有一个结论：

• 若正整数 \(N\) 被唯一质因数分解为 \(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\dots p_m^{c_m}\) ，且满足 \(p_1<p_2<\dots<p_m\) ，
• 则： \(N\) 的正约数个数为 \(\prod\limits_{i=1}^m (c_i+1)\) .

应用这个结论，我们可以直接枚举因数的 \(i\) 次方，进行搜索优化。

另外有一个剪枝：

• 题目要求数最小，则可知满足时， \(c_1\ge c_2\ge\cdots c_m\) 必定成立。
• 则 \(i\) 加上限制即可。

代码

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f,N = 1e6+5;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
inline ll read(){
	ll ret=0;char ch=' ',c=getchar();
	while(!(c>='0'&&c<='9'))ch=c,c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')ret=(ret<<1)+(ret<<3)+c-'0',c=getchar();
	return ch=='-'?-ret:ret;
}
ll n,m;
ll pri[N]; bool vis[N];
void Prime(){
	for(int i = 2 ; i <= 1e6 ; i ++){
		if(!vis[i]) pri[++m] = i;
		for(int j = 1 ; j <= m && i*pri[j] <= 1e6 ; j ++){
			vis[i*pri[j]] = 1;
			if(!(i%pri[j])) break;
		}
	}
}
ll anS,anC;
void dfs(int cur,int lim,ll s,ll c){
	if(c > anC || (c == anC && s < anS)) anS = s , anC = c;
	if(cur > m || s * pri[cur] > n) return;
	s *= pri[cur];
	for(int i = 1 ; i <= lim && s <= n ; i ++ , s *= pri[cur])
		dfs(cur+1,i,s,c*(i+1));
}
signed main(){
	n = read();
	Prime();
	dfs(1,53,1,1);
	printf("%lld",anS);
}