4.17 DP专题：最长上升子序列+导弹拦截

最长上升子序列长度+输出答案序列

题意

设有\(n\)个不相同的整数组成的序列\(a[1\cdots n]\)，且\(a[i]!=a[j](i!=j)\)，若存在\(i_1<i_2<\cdots i_e\)，且有\(a[i_1]<a[i_2]<\cdots <a[i_e]\)，称为长度为\(e\)的上升序列。
求出最长上升序列的长度及这个最长上升序列。

题解

由于要记录这个最长的上升序列，那么\(n\log{n}\)的非dp做法似乎不可行，用\(n^2\)的dp来写。
首先，\(dp[i]\)记录从\(1\)到\(i\)的最长上升序列长度，设其初值是1。\(pre[i]\)记录以\(a[i]\)为结尾的子序列的前一个元素位置。
考虑如何更新\(dp\)。
可以列举\(i\)，外层循环中找到以\(i\)为结尾的最大序列。
内层循环中：枚举\(j,j\in [1,i)\);

得到如下做法：

状态转移方程：

• 如果\(a[j] < a[i]\),代表当前的\(a[i]\)可以成为已知的以\(a[j]\)结尾的最长序列的最新一位元素(得到新的序列为\(a[\dots],a[\dots],a[j],\)\(a[i]\))。
  • \(dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1)\);
  • 此时如果更新了\(dp[i]\)的值，那么代表得到的序列是目前最新的，长度最长的序列：
    • \(i\)的前一位是\(j\)，表示为\(pre[i]=j\);
    • 记录下当前\(i\)的位置，表示为\(ans=i\);
    • 用\(maxn\)记录序列最长长度。
  • 这里可以优化成：如果 \(a[j] < a[i] \quad\&\&\quad dp[i] < dp[j] + 1\)
    最后输出长度\(maxn\)。

对于输出答案序列，使用递归：

• 先找print(ans)，表示从最后一位开始输出,
• 一直向\(pre[x]\)递归下去，直到\(x=0\)，表示找到头，回溯。
• 每次回溯时候输出答案即可。

特判一下如果maxn的值没有被更新，则未发现最长序列，直接特殊输出即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f , N = 1e5+5; 
int a[N],pre[N],n,dp[N],ans,maxn = -INF;
void print(int x){
	if(!x)return;
	print(pre[x]);
	printf("%d ",a[x]);
}
signed main(){
	while(scanf("%d",&a[++n]) != EOF);
	n--;
	
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
		dp[i] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
		for(int j = 1 ; j < i ; j ++)
			if(a[j] < a[i] && dp[i] < dp[j] + 1){
					dp[i] = dp[j] + 1,
					pre[i] = j;
					if(maxn < dp[i]){
						maxn = dp[i],
						ans = i;
					}
				}
	if(maxn == -INF){
		printf("max=%d\n%d",1,a[1]);
		return 0;
	}
	printf("max=%d\n",maxn);
	print(ans);	
	
	return 0;
}

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导弹拦截

题意

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是\(\le50000\)的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

题解

对于第一问，找到该序列中的最长不上升子序列即可。
对于第二问，找到该序列中的“最长不下将子序列”即可。


以第一问为例，\(O(n^2)\)的思路及算法同前一题，不再赘述。
这里提供一个\(O(n\log n)\)的求最长不下降子序列的算法：
开一个数组\(q\)，表示一个“单调栈”，维护可行的最长序列。
由于我们并不关心这个最长序列是什么，所以只需维护数组的长度即可。
对于新加入的元素（设为\(b\)，判断：

• 如果\(b\)>栈顶元素，那么直接把它放入栈顶即可。
• 否则（\(b\)小于等于栈顶元素）：
  • 在当前栈内找到第一个比\(b\)大或等于的元素(lower_bound)，将此元素的值更改为\(b\)
    这样执行，最后得到的栈的长度即为答案。
    一些小问题：

1. 为什么它可行：
   因为维护的是当前序列单调不下降的栈， 改变其中一个值不会影响长度；在后面加上的数一定是满足所有计入栈内元素的不下降的一个。
2. 为什么这样得到的数组不是答案数组
   在更新长度之后，如果修改一个元素，就不是成为答案的最长的一个了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f , N = 1e5+5; 
int a[N],q1[N],q2[N],cnt,n;
signed main(){
	while(scanf("%d",&a[++n]) != EOF);
	n--;
	q1[++cnt] = a[1];
	for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
		if(a[i] <= q1[cnt]) q1[++cnt] = a[i];
		else {
			int l = 1 , r = cnt;
			while(l < r){
				int mid = (l + r) >> 1;
				if(q1[mid] < a[i]) r = mid;
				else l = mid + 1;
			}
			q1[l] = a[i];
		}
	}
	printf("%d\n",cnt);
	
	cnt = 0;
	q2[++cnt] = a[1];
	for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
		if(a[i] > q2[cnt])q2[++cnt] = a[i];
		else {
			int l = 1 , r = cnt;
			while(l < r){
				int mid = (l + r) >> 1;
				if(q2[mid] >= a[i]) r = mid;
				else l = mid + 1;
			}
			q2[l] = a[i];
		}	
	}
	printf("%d",cnt);
	
	return 0;
}