数论出题组比赛用题：公约数

T4:公约数

思考难度：提高?

代码难度：省选-?

算法1：暴力计算

实际得分：10

算法2：

首先$\gcd(i\cdot j,i\cdot k,j\cdot k)=\frac{\gcd(i,j)\times \gcd(i,k)\times \gcd(j,k)}{\gcd(i,j,k)}$

所以原式$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^p(\gcd^2(i,j)+\gcd^2(i,k)+gcd^2(j,k))$

考虑一个式子$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd^2(i,j)=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sum_{x|d}d^2\mu\left(\frac{x}{d}\right)$

考虑对后面的$\sum$分块计算，$O(n+T\cdot n\sqrt{n})$

实际得分：30

算法3：

发现前面的$\sum$也可以分块，$O(n+T\cdot n)$

实际得分：50

算法4：

考虑令$f(x)=x^2,g(x)=\mu\left({x}\right)$，计算这两个函数的狄利克雷卷积$h(x)$，再对$h(x)$分块计算，$O(n+T\cdot \sqrt{n})$

实际得分：100

算法5：

杜教筛一下，把预处理复杂度由$O(n)$降低为$O(n^{\frac{2}{3}})$，我太懒了没有学杜教筛

实际得分：100