点分治 / 点分树题目集
学了这么久的点分治 / 点分树，感觉自己还是只会做点裸题……这都要国赛了感觉自己吃枣药丸。
CSAcademy Round 10 Yury's Tree
题意
给定一棵 \(n\) 个点的树，每条边有一个边权。接下来有 \(m\) 次操作分为以下两种：
1 u查询 \(u\) 号点的价值。2 x y z表示对于 \(x\) 子树的所有点 \(u\) ，如果 \(u\) 到 \(x\) 的路径上的边权全都大于等于 \(y\) ，就给 \(u\) 的价值加上 \(z\) 。\(n,m \le 3 \times 10^5 , TL = 1.5s\) 。原题范围 \(n,m \le 10^5,TL = 4s\)
题解
原题的做法是个不太优美的根号算法，事实上这个题是存在 \(\log\) 级别做法的。
首先假设修改全部在询问之前。注意到这里你需要保证路径最大值大于等于某个数，因此可以考虑一下点分治。分治到当前分治重心的时候，把分治重心沿原树的父亲往上爬，直到遇到上一分治重心或根节点，把这条路径上的有效修改操作提取出来。某一次查询的点 \(u\) 如果可以被修改操作 \((x,y,z)\) 贡献到，那么 \(u\) 到分治重心的最大边权 \(w\) 就要小于等于 \(y\)。这可以很容易地统计出来。
我们再加上时间这一维，就只要拿一个树状数组维护就行了，复杂度 \(O(n \log^2 n)\) 。
总结
对于有根树上的一些问题，思路也不要被局限，点分治也是一个很好的角度；对于树上的某些单点查询，可以考虑修改对查询的贡献，而不是把整个值维护出来。
一个经典问题
题意
给出一棵 \(n\) 个点的有根树，每个结点上有一个一次多项式。求每个结点到根的多项式乘积的和。
\(n \le 10^5\) 。
题解
树上路径问题，可以继续考虑点分治。点分治之后，假如求出了当前分治重心到根节点的多项式乘积，那么接下来只需要对于每一个不包含根节点的子树，计算以这个子树的根节点为新的根，关于这个子树的一个子问题即可。最后加起来统一卷积。
考虑如何求出这条路径的多项式乘积，直接暴力分治 \(\text{FFT}\) 是 \(O(n \log^2 n)\) 的，加上点分治就是 \(O(n \log^3 n)\) ，不太能过。注意到其实这个分治 \(\text{FFT}\) 有大量的重复计算，因此优化可以从这里下手。我们只需要不断地找到该路径上的下一个点分中心，就可以直接得到下一个点分中心到根的路径的乘积，这样可以得到 \(O(\log n)\) 个多项式，其中第 \(i\) 个多项式长度级别不会超过 \(\frac{n}{2^i}\)。显然把他们卷起来的时间复杂度是 \(O(n \log n)\)，因此总复杂度降到了 \(O(n \log^2 n)\) 。
Codeforces 936E Iqea
题意
有一间房子由 \(n\) 个格子组成，第 \(i\) 个格子位于坐标 \((x_i,y_i)\) ，保证所有属于房子的格子是四连通的，同时保证所有不属于房子的格子也是四连通的。
房子里有好多的橘猫。橘猫想吃东西。接下来会发生 \(m\) 个事件，第 \(i\) 个事件可以用三个数 \(ty,x,y\) 表示。
若 \(ty = 1\) 则表示坐标 \((x,y)\) 处出现了一大碗猫粮，猫粮是吃不完的。
若 \(ty = 2\) 则表示坐标 \((x,y)\) 处出现了一只橘猫，他会走向距离最近的猫粮去吃，注意猫不能走出房子。保证坐标都在房子内。
对于每个 \(ty = 2\) 的事件，橘猫想让你告诉他们，距离最近的猫粮距离是多少。
\(n,m,x_i,y_i \le 3 \times 10^5\) 。
题解
由于属于房子和不属于房子的格子都是四联通的，因此联通部分不存在环。
如果把所有垂直方向上相邻的格子缩成一个点，那么这样就形成了一棵树。考虑一只橘猫和一碗猫粮在枚举了相遇的那个节点之后，应该怎么算距离。可以发现，一定是先找到对应的到这个节点的最短路径，然后在这个节点上走完剩下的路。这样的话，只要在每个分治重心存下这个分治区域中，所有的猫粮到该分治重心的最短距离，以及到了之后的位置，询问时就可以到每个分治中心去查询了。由于到每个分治重心处还需要 \(O(\log n)\) 的代价维护，因此时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\) 。
总结
模型转化是这道题的一大核心；对于树上动态维护一个点到一个点集的最短路，可以考虑用点分树来维护；可以把分治重心当做类似中转站的处理点。
Luogu P5311
题意
给定一棵 \(n\) 个点的树，每个节点有一个颜色。\(q\) 询问从 \(x\) 出发，只经过编号在 \([l,r]\) 中的点，所能到达的点的颜色种数。
\(n,q \le 10^5\) 。
题解
建出点分树，一个很重要的性质是，对于询问 \((l,r,x)\) 中 \(x\) 所在的一个连通块，必定完全包含在点分树上某一个节点 \(p\) 的子树里，满足 \(p \in [l,r]\)。证明可以考虑，如果不存在这样的 \(p\) ，那么这个联通块必然会被某个分治重心分开成若干个联通块。
接下来我们只要沿着点分树向上爬，就不难找到这个 \(p\) 。对于当前分治重心，求出每个点到这个分治重心的路径编号最大最小值，问题就可以化为，给定若干个区间，每个区间有一种颜色，每次询问会给定一个区间 \([l,r]\) ，求被 \([l,r]\) 完整包含的区间颜色种数。不难发现只需要离线树状数组扫一遍就行了，复杂度 \(O(n \log^ 2 n)\) 。
总结
题目的难点主要在前面的性质发现。思路可能要有意识地往这上面靠。
